【概述】

二叉排序樹（Binary Search Tree），又稱二叉查找樹，其本質是按一定的順序進行構造的二叉樹。

其遞歸定義如下：

• 若其左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于根結點的值
• 若其右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于根節點的值
• 其左右子樹也是二叉排序樹

從上述定義可以看出，二叉排序樹是記錄之間滿足一定次序的二叉樹，中序遍歷二叉排序樹可以得到一個按關鍵碼有序的序列。

折半查找判定樹就是一棵二叉排序樹：點擊這里

【實現類】

template<class T> struct Node{T data;Node *lchild,*rchild; }; template<class T> class BiSortTree{ public:BiSortTree(T a[],int n);//構造函數~BiSortTree(){release(root);}//析構函數void insertBST(Node<T> *&root,Node<T> *s);//插入結點void deleteBST(Node<T> *p,Node<T> *f);//刪除結點Node<T> *searchBST(Node<T> *bt,int k);//查找結點 private:Node<T> *root;//指向根節點的頭指針void release(Node<T> *bt);//析構函數調用 };

【插入操作】

根據二叉排序樹的定義，向二叉排序樹中插入一個結點 s 的過程可用如下偽代碼描述：

若 root 是空樹，則將結點 s 作為根節點插入

否則，若 s->data 小于 root->data，則將結點 s 插入到 root 的左子樹中

否則，將結點 s 插入到 root 的右子樹中

從上述插入過程可以看出，插入的結點是作為葉結點插入到二叉排序樹中的，其過程是遞歸進行的。

template<class T> void BiSortTree<T>::insertBST(Node<T> *&root,Node<T> *s) {if(root==NULL)root=s;else if(s->data<root->data)insertBST(root->lchild,s);elseinsertBST(root->rchild,s); }

【構造函數】

構造二叉排序樹的過程是從空的二叉排序樹開始，依次插入一個個結點，其構造過程可用如下偽代碼描述：

依次取每一個記錄 a[i]，進行如下操作：

1）申請一個數據域為 a[i] 的結點 s，令結點 s 的左右指針域為空

2）調用插入操作的方法，將結點 s 插入二叉排序樹中

template<class T> BiSortTree<T>::BiSortTree(T a[],int n){for(int i=0;i<n;i++){Node<T> *s;s->data=a[i];s->lchild=NULL;s->rchild=NULL;insertBST(root,s);} }

【刪除操作】

在二叉排序樹中，由于刪除結點時，刪除的可能是葉結點也可能是分支結點，因此在刪除時，需要重新修改指針，使得刪除一個結點后，仍能保證二叉排序樹的特性。

在二叉排序樹中的刪除操作中，設待刪除結點為 p，其父結點為 f，且 p 是 f 的左孩子，那么可分為以下三種情況進行討論：

1.p 為葉結點

當被刪除的結點為葉結點時，由于刪除后不影響二叉排序樹特性，因此只需將被刪除結點的父節點 f 的相應指針域改為空即可。

如下圖，有：f->lchild=NULL

2.p 只有左子樹 pl 或只有右子樹 pr

當被刪除的結點僅有一棵子樹時，需要將 pl 或 pr 替換為 f 的左子樹。

如下圖，有：f->lchild=p->lchild 或 f->rchild=p-rchild

3.p 既有左子樹又有右子樹

當被刪除的結點有兩棵子樹時，需要找其前驅（即：大于 p 的最小值 或 小于 p 的最大值）來將其代替，然后刪除該前驅。

綜上，刪除操作可用如下偽代碼描述：

1.若結點 p 是葉結點，則直接刪除結點 p

2.若結點 p 只有左子樹，則只需重接 p 的左子樹；若結點 p 只有右子樹，則只需重接 p 的右子樹

3.若結點 p 的左右子樹均不空，則：
? 1）查找結點 p 的右子樹上的最左下結點 s 及 s 雙親結點 f
? 2）將結點 s 數據域替換到被刪結點 p 的數據域
? 3）若結點 p 的右孩子無左子樹，則將 s 的右子樹接到 f 的右子樹上；否則，將 s 的右子樹接到結點 f 的左子樹上
? 4）刪除結點 s?

template<class T> void BiSortTree<T>::deleteBST(Node<T> *p,Node<T> *f){if(p->lchild==NULL && p->rchild==NULL){//p是葉結點if(f->child==p)f->lchild=NULL;elsef->lchild=NULL;delete p;}else if(p->rchild==NULL){//p只有左子樹if(f->child==p)f->lchild=p->lchild;elsef->rchild=p->lchild;delete p;}else if(p->lchild==NULL){//p只有右子樹if(f->child==p)f->lchild=p->rchild;elsef->rchild=p->rchild;delete p;}else{//左右子樹均不空f=p;Node<T> *s=p->rchild;while(s->lchild!=NULL){//查找最左下結點f=s;s=s->lchild;}p->data=s->data;if(f==p)//特殊情況p->rchild=s->rchild;else//一般情況f->lchild=s->rchild;delete s;} }

【查找操作】

由于二叉排序樹的定義，在二叉樹中查找給定值 k 的過程是：

• 若 root 是空樹，查找失敗
• 若 k=root->data，查找成功
• 若 k<root->data，在 root 的左子樹進行查找
• 若 k>root->data，在 root 的右子樹進行查找

上述過程一直持續到 k 被找到或者待查找的子樹為空，若待查找的子樹為空，則查找失敗。值得注意的是，當查找失敗時，恰好找到了以 k 為鍵值的新結點在二叉排序樹中的插入位置。

template<class T> Node<T> *BiSortTree<T>::searchBST(Node<T> *bt,int k){if(bt==NULL)return NULL;else if(bt->data==k)return bt;else if(k<bt->data)return searchBST(bt->lchild,k);elsereturn searchBST(bt->rchild,k); }

【析構函數】

二叉排序樹的析構函數與二叉鏈表的析構函數相同

template<class T> void BiSortTree<T>::release(Node<T> *bt){if(bt!=NULL){release(bt->lchild);release(bt->rchild);delete bt;} }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 查找 —— 二叉排序树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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