【概述】

網絡流是一個適用范圍極廣的模型，相關的算法也很多，大體分為最大流、最小割、費用流三類。

對于網絡流類型的題來說，一般根據題意，分析后建出圖后，套用相關模版，即可解決問題。

關于網絡流的基本概念與建模技巧：點擊這里

【算法】

1.最大流算法

求最大流算法分為兩類，一種是增廣路算法，一種是預留推進算法。

增廣路算法，常用的有時間復雜度 O(n*m*m) 的 FF 算法、EK 算法，上界為 O(n*n*m) 的 Dinic 算法，以及對 Dinic 進行改進的 ISAP 算法；壓入與重標記算法又稱預留推進算法，其時間復雜度為 O(n*n*m)

• FF 算法與 EK?算法：點擊這里
• Dinic 算法：點擊這里
• SAP 算法與 ISAP 算法：點擊這里
• 壓入與重標記算法：點擊這里

2.最大流最小割

求最大流的最小割時，根據最大流最小割定理，可以在求最大流的過程中求出最小割，一般常用的是?Dinic 算法。

• Dinic 算法：點擊這里

若網絡流的圖是一個平面圖，那么可以將其轉為對偶圖，然后跑最短路算法

• 平面圖與對偶圖：點擊這里

若要求最大權閉合子圖，可以轉為最小割問題，然后利用 Dinic 來解決

• 最大權閉合子圖：點擊這里

若要求最大密度子圖，那么需要利用 01 分數規劃來分析，從而轉換模型

• 01 分數規劃：點擊這里

3.費用流

一個網絡流圖中最大流的流量是唯一的，但是達到最大流量時，每條邊上的流量分配是不唯一的。?

若給網絡流圖中的每條邊都設置一個費用 cost，表示單位流量流經該邊時會導致花費 cost，那么在這些流量均為最大流的流量分配 f 中，存在一個流量總花費最小的最大流方案。

即：min{sum(cost(i, j)*f(i,j)}，其中 cost?(i, j) 屬于方案 f 中的邊，f(i,j) 為邊 (i,j) 上的流量，f 為某一個最大流方案

求解最小費用最大流最常用的算法是基于 SPFA 的 MCMF 算法：點擊這里

由于 MCMF 算法是基于是 SPFA，而有時會卡 SPFA，因此除 MCMF 外，還有基于 Dijkstra 費用流：點擊這里

除以上兩種求費用流的方法外，還有一種更為高效的費用流算法，即 zkw 費用流：點擊這里

【例題】

除例題外，可參考?Edelweiss 的《網絡流建模匯總》，具體內容：點擊這里

1.最大流

Flow Problem（HDU-3549）(EK)：點擊這里?

PIGS（POJ-1149）(EK)：點擊這里

Drainage Ditches（POJ-1273）(Dinic)：點擊這里

Dining（POJ-3281）(Dinic)：點擊這里

Magic Potion（Gym - 101981I）(Dinic)：點擊這里

2.最小割

Maximum Flow（2017 ACM-ICPC 亞洲區(西安賽區)網絡賽 E）(割的應用)：點擊這里

Path（HDU-6582）(SPFA+最小割)：點擊這里

Harmonious Army（HDU-6598）(最小割)：點擊這里

狼抓兔子（HYSBZ-1001）(平面圖轉對偶圖)：點擊這里

Firing（POJ-2987）(最大權閉合子圖)：點擊這里

3.費用流

Build String（CF-237E）(MCMF)：點擊這里

Our Journey of Dalian Ends（2017 ACM-ICPC 亞洲區(烏魯木齊賽區)網絡賽 J）(MCMF)：點擊這里

K Subsequence（HDU-6611）(基于 Dijkstra 的費用流)：點擊這里

最小費用最大流（洛谷-P3381）(zkw費用流)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 网络流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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