【概述】

Manacher 算法又稱馬拉車算法，用于求最長回文子串。

對于最長回文子串傳統的求法的求法是以每個字符為中心，向兩邊尋找回文子串，在遍歷完整個數組后即可得到最長回文子串，其時間復雜度為 O(n^2)

而馬拉車算法，將求最長回文子串的時間復雜度提升到了線性，其時間復雜度只有 O(n)

【算法流程】

1.預處理

由于字符串的長度分為奇偶兩種，因此對于初始的字符串，在每一個字符的左右都加上一個未在串中出現過的字符，得到一個新的字符數組 newStr[]。

比如：

• 奇數字符串：bob --> #b#o#b#
• 偶數字符串：noon --> #n#o#o#n#

這樣一來，無論原字符串是奇數個字符還是偶數個字符，處理后的字符串字符的個數都是奇數個，這樣就無需分情況討論了。

2.設置輔助數組

接下來，還需要定義一個輔助數組 p[]，其中 p[i] 表示以字符 newStr[i] 為中心的最長回文半徑，若 p[i]=1，則該回文子串就是 newStr[i] 本身。

例如：以字符串 abbahopxp?為例

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
newStr[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]	?	1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

可以看出，p[i]-1 即為原字符串中最長回文串的長度。

3.求解輔助數組

首先新增兩個變量 mx 與 id，其中 mx 代表以 id 為中心的最長回文串的右邊界，即：mx=id+p[id]

假設求以 i 為中心的最長回文半徑，即求解 p[i]，當 i<mx 時，那么有 p[i] = min(p[2*id-i], mx-i)，否則 p[i]=1，其中 2*id-i 為圖中的 j 點，即 p[j] 是以 j 為中心的最長回文半徑

【復雜度分析】

基于回文串的性質，輔助數組 p[i] 的值基于以下三種情況得出：

1）j 的回文串有一部分在 id 的回文串之外

如上圖，黑線為 id 的回文串，i 與 j 關于 id 對稱，紅線為 j 的回文，紫線為 i 的回文，虛線為以 id 為中心的回文右邊界 mx，那么根據 p[i]=mx-i，即紫線的部分，那么可以得出，p[i] 無法得到更大的值

如上圖，假設右側新增的紫色 d 部分是 p[i] 可增加的部分，那么根據回文的性質，也即是說 id 的回文 = 黑線 + a + d，矛盾，假設不成立，因此 p[i] 無法再增加，得到一個更大的值

2）j 回文串全部在 i 內部

如上圖，此時 p[i]=p[j]，那么可以得出，p[i] 無法得到更大的值

如上圖，假設右側的紅線 d 是 p[i] 可增加的部分，那么根據回文的性質，j 的回文 = j 之前的回文 + a + b，矛盾，假設不成立，因此 p[i] 無法再增加，得到一個更大的值

3）i?的回文串右端與 id 的回文串右端重合

如上圖，此時 p[i]=p[j]，或 p[i]=mx-i，此時?p[i] 可以繼續增加，那么有：

while(newStr[i-p[i]]==newStr[i+p[i]]) p[i]++;

根據（1）（2）（3），容易推出 Manacher 算法的最壞情況，即為字符串內全是相同字符的時候，平均訪問每個字符 5 次，同理，也容易推出 Manacher 算法的最佳情況，即為字符串內字符各不相同的時候，平均每個字符訪問 4 次。

綜上，Manacher算法的時間復雜度為 O(n)。

【實現】

char str[N];//原字符串 char newStr[N*2];//預處理后的字符串 int p[N*2];//輔助數組 int init(){//對原字符進行預處理newStr[0]='$';newStr[1]='#';int j=2;int len=strlen(str);for (int i=0;i<len;i++){newStr[j++]=str[i];newStr[j++]='#';}newStr[j] ='\0'; //字符串結束標記return j;//返回newStr的長度 }int manacher(){int len=init();//取得新字符串長度并完成字符串的預處理int res=-1;//最長回文長度int id;int mx=0;for(int i=1;i<len;i++){int j=2*id-i;//與i相對稱的位置if(i<mx)p[i]=min(p[j], mx-i);elsep[i]=1;//由于左有'$',右有'\0'，不需邊界判斷while(newStr[i-p[i]] == newStr[i+p[i]])//p[i]的擴大p[i]++;if(mx<i+p[i]){//由于希望mx盡可能的遠，因此要不斷進行比較更新id=i;mx=i+p[i];}res=max(res,p[i]-1);}return res; }int main(){while (printf("請輸入字符串：\n")){scanf("%s",str);printf("最長回文長度為 %d\n", manacher());}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的字符串处理 —— 回文串相关 —— Manacher 算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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