【概述】

數位 DP 實際是一種計數用的 DP，一般就是統計一個區間 [le,ri] 內滿足一些條件數的個數。

所求的限定條件往往與數的位數有關，例如：數位之和、指定數碼個數、數的大小順序分組等。

題目所給的區間范圍往往很大，無法通過暴力枚舉來求解，一般是要求把某個區間的符合某種特征的數的個數求出來，因此根據根據 “逐位確定” 的基本思想，將最大數按位分解，然后 dfs 依次判斷每一位相應的數是否滿足要求。?

【基本思想】

數位 DP 的實質就是一種暴力枚舉的方式，使得新的枚舉方式滿足 DP 的性質，然后進行記憶化搜索。

對于一個求區間 [le,ri] 滿足條件數的個數，最簡單的暴力方式為：

for(int i=le;i<=ri;i++)if(right(i))ans++;

但這樣枚舉沒有任何狀態，不便于進行記憶化，因此，可以控制上界，從最高位向下枚舉。

例如：要求比 456 小的數，可以如下考慮

4 ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? 64　 ? ? ? 5 ? ? ? ? ? (0~6)4 ? ? ? (0~4) ? ? ? ? (0~9)(0~3) (0~9) ? ? ? ? (0~9)

此時，這種新的枚舉只控制了上界，統計 [1,ri] 和 [1,le-1] 的數量，然后相減即為區間 [le,ri] 的數量，需要注意的是 le 的范圍都是大于等于 1 的

int main() {long long le,ri;while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1)); }

【模板】

枚舉到當前位置 pos，狀態為 state 的數量，dp 值保存的是滿足條件數的個數。

typedef long long LL; using namespace std; int a[20]; LL dp[20][state];//不同題目狀態不同 /*pos 枚舉到當前位置lead 前導零，不是每個題都要判斷limit 數位上界變量 */ LL dfs(int pos,state變量,bool lead,bool limit) {/*遞歸邊界，由于按位枚舉，最低位是0，此時說明枚舉完了此時一般返回1，表示枚舉的這個數是合法的，因此要保證枚舉時每一位都要滿足題目條件，即當前枚舉到pos位，*/if(pos==-1)return 1;if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) //記憶化return dp[pos][state];int up=limit?a[pos]:9;//根據 limit 判斷枚舉的上界LL ans=0;for(int i=0;i<=up;i++)//枚舉{/*把不同情況的個數加到ans*/if()...else if()...else...ans+=dfs(pos-1,狀態轉移,lead && i==0,limit && i==a[pos])}if(!limit && !lead)//計算完，記錄狀態dp[pos][state]=ans;return ans; } LL solve(LL x) {int pos=0;while(x)//分解數位{a[pos++]=x%10;//存儲各數位x/=10;}return dfs(pos-1,一系列狀態,true,true);//從最高位開始枚舉 } int main() {LL le,ri;while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri)){memset(dp,-1,sizeof(dp));//一般初始化為-1printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));} }

【例題】

Fast Bit Calculations（LightOJ-1032）(模版題)：點擊這里

不要62（HDU-2089）(模版題)：點擊這里

Amount of Degrees（Ural-1057）(模版題)：點擊這里

數字0-9的數量（51Nod-1042）(模版題)：點擊這里

處女座和小姐姐（三）（2019牛客寒假算法基礎集訓營 Day3-G）(模版題)：點擊這里

Bomb（HDU-3555）(類似 不要62，注意數據精度)：點擊這里

Magic Numbers（CF-628D）(左閉右閉區間，左端點特判)：點擊這里

Balanced Number（HDU-3709）(注意以力矩作為狀態)：點擊這里

F(x)（HDU-4734）(先計算F(a)，再找出比其小的即可)：點擊這里

B-number（HDU-3652）(需要三維數組)：點擊這里

Balanced Numbers（SPOJ-BALNUM）(三種狀態，用三進制表示)：點擊這里

windy數（BZOJ-1026）(數位+前綴和)：點擊這里

K-th Nya Number（HDU-3943）(數位+二分)：點擊這里

Apocalypse Someday（POJ-3208）(數位+二分，設置二分上界時要換為長整型極大值0x3f3f3f3f3f3f3f3f)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 数位 DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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