【概述】

判斷素數(shù)是一個較常涉及的內(nèi)容，所謂素性測試是檢測一個數(shù)是否為素數(shù)的測試。

素數(shù)定理：，其中 π(x) 表示不超過 x 的素數(shù)的個數(shù)

質(zhì)數(shù)分布密度定理：素數(shù)的分布越來越稀疏，當(dāng) 1E18 內(nèi)的任意兩個素數(shù)的差不會很大（不會超過 300）

【埃拉托斯特尼篩法】

初始時，先假設(shè)所有數(shù)都是素數(shù)，從2開始枚舉，當(dāng)找到一個素數(shù)時，顯然這個素數(shù)乘上另外一個數(shù)之后都是合數(shù)，把這些合數(shù)都篩掉，繼續(xù)向下枚舉，直至所有數(shù)枚舉完畢。

int primes[N],cnt; bool bprime[N]; void getPrime(int n){memset(bprime,false,sizeof(bprime));bprime[0]=true;bprime[1]=true; for(int i=2;i<=n;i++){if(!bprime[i]){prime[cnt++]=i;for(LL j=i*2;j<=n;j+=i)bprime[j]=true;}} }

【線性篩法】

仔細(xì)分析埃拉托斯特尼篩法可發(fā)現(xiàn)，這種方法會造成重復(fù)篩除合數(shù)，影響效率。

以 30 為例，在 i=2 的時候，k=2*15 篩了一次；在i=5，k=5*6 的時候又篩了一次。

未避免冗余，提高效率，也就有了快速線性篩法，其可保證不會重復(fù)刪除一個數(shù)。

原理：

① 如果 i 是素數(shù)，那么一個大的素數(shù) i 乘以一個不大于 i 的素數(shù)，這樣篩出的數(shù)都是：?形式的，是不會重復(fù)的。

② 如果 i 是合數(shù)，此時 i 可以表示為遞增素數(shù)相乘，即：，P1 是最小的系數(shù)。

③ 當(dāng)執(zhí)行到 p1=prime[j] 的時候，篩選就終止了，也即只能篩選出 不大于 p1 的素數(shù) * i

int primes[N],cnt; bool bPrime[N]; void getPrimes(int n){memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));for(int i=2;i<=n;i++){if(!bPrime[i])primes[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*primes[j]<n;j++){bPrime[i*primes[j]]=true;if(i%primes[j]==0)break;}} }

【判素數(shù)】

1.試除法

當(dāng)數(shù)據(jù)范圍較小的情況下，判斷素數(shù)可從判斷 2 到 sqrt(n) 或者 n/2 ，看能不能整除 n，若能整除就不是素數(shù)。

bool judge(int n){if(n==1)//為1時，不是return false;for(int i=2;i<sqrt(n);i++)//如果能被整除，不是if(n%i==0)return false;return true; }

?2.篩法判斷

當(dāng)數(shù)據(jù)范圍較大且需要多次查詢的情況下，判斷素數(shù)可以首先利用篩法篩出所有素數(shù)，然后再進(jìn)行判斷

int primes[N],cnt; bool bPrime[N]; void getPrimes(int n){memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));for(int i=2;i<=n;i++){if(!bPrime[i])primes[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*primes[j]<n;j++){bPrime[i*primes[j]]=true;if(i%primes[j]==0)break;}} } bool judge(LL x){for(int i=0;i<cnt&&(LL)primes[i]*primes[i]<=x;i++)if(x%primes[i]==0)return false;return true; }

3.Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法是一個隨機(jī)算法，隨機(jī)生成幾個 a 利用費(fèi)馬小定理與二次探測定理來檢測素數(shù)。

只需要多次尋找不超過 n-1 基并檢驗是否有?， 如果一直有， 那么這個數(shù)大概率就是一個素數(shù)，否則可以立即判定這個數(shù)是個合數(shù)。

雖然看似沒有問題，但卻存在一些數(shù)，對于 a 的某些選擇可以騙過該算法，這些數(shù)雖然不是素數(shù)，但卻對所有與 p 互素的 0<a<p 滿足?，因此，還需要附加二次探測定理的測試來改進(jìn)不出錯的幾率。

LL Mult_Mod(LL a,LL b,LL m)//res=(a*b)%m {a%=m;b%=m;LL res=0;while(b){if(b&1)res=(res+a)%m;a=(a<<=1)%m;b>>=1;}return res%m; } LL Pow_Mod(LL a, LL b, LL m)//res=(a^b)%m {LL res=1;LL k=a;while(b){if((b&1))res=Mult_Mod(res,k,m)%m;k=Mult_Mod(k,k,m)%m;b>>=1;}return res%m; } bool Witness(LL a,LL n,LL x,LL sum) {LL judge=Pow_Mod(a,x,n);if(judge==n-1||judge==1)return 1;while(sum--){judge=Mult_Mod(judge,judge,n);if(judge==n-1)return 1;}return 0; } bool Miller_Rabin(LL n) {if(n<2)return 0;if(n==2)return 1;if((n&1)==0)return 0;LL x=n-1;LL sum=0;while(x%2==0){x>>=1;sum++;}int times=20;for(LL i=1;i<=times;i++){LL a=rand()%(n-1)+1;//取與p互質(zhì)的整數(shù)aif(!Witness(a,n,x,sum))//費(fèi)馬小定理的隨機(jī)數(shù)檢驗return 0;}return 1; } int main() {int p;cin>>p;if(Miller_Rabin(p))cout<<p<<"可能是素數(shù)"<<endl;elsecout<<p<<"是合數(shù)"<<endl;return 0; }

【例題】

回文質(zhì)數(shù)（洛谷-P1217）(構(gòu)造回文+判素數(shù))：點(diǎn)擊這里

哥德巴赫猜想（升級版）（洛谷-P1579）(試除法判素數(shù))：點(diǎn)擊這里

Goldbach's Conjecture（POJ-2262）(試除法判素數(shù))：點(diǎn)擊這里

Pseudoprime numbers（POJ-3641）(快速冪取模+判素數(shù))：點(diǎn)擊這里

Reversing Encryption（CF-999B）(素數(shù)打表)：點(diǎn)擊這里

Bi-shoe and Phi-shoe（LightOJ-1370）(素數(shù)打表)：點(diǎn)擊這里

Primes （Gym-102267B）(素數(shù)打表+暴力)：點(diǎn)擊這里

處女座的測驗（一）（2019?？秃偎惴ɑA(chǔ)集訓(xùn)營 Day2-H）(素數(shù)打表+積性函數(shù)的推導(dǎo))：點(diǎn)擊這里

處女座的測驗（二）（2019?？秃偎惴ɑA(chǔ)集訓(xùn)營 Day2-I）(素數(shù)打表+素因子與最高次冪+剪枝)：點(diǎn)擊這里

Sum of Consecutive Prime Numbers（POJ-2739）(線性篩素數(shù)+打表+dfs)：點(diǎn)擊這里

Prime Gap（POJ-3518）(快速線性篩素數(shù)+打表判斷)：點(diǎn)擊這里

Prime Cuts（POJ-1595）(快速線性篩素數(shù)+打表判斷)：點(diǎn)擊這里

Goldbach's Conjecture（HDU-1397）(快速線性篩素數(shù)+打表判斷)：點(diǎn)擊這里

Primes on Interval（CF-237C）(素數(shù)打表+前綴和優(yōu)化+二分)：點(diǎn)擊這里

Minimal Power of Prime（HDU-6623）(線性篩+思維)：點(diǎn)擊這里

TDL（HDU-6641）(質(zhì)數(shù)密度分布定理+異或性質(zhì))：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 素性测试的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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