【簡化的問題】

這種背包問題的物品間存在某種“依賴”的關(guān)系，也就是說，i依賴于j，表示若選物品i，則必須選物品j。

為了簡化起見，我們先設(shè)沒有某個(gè)物品既依賴于別的物品，又被別的物品所依賴，另外，沒有某件物品同時(shí)依賴多件物品。

【算法】

將不依賴于別的物品的物品稱為“主件”，依賴于某主件的物品稱為“附件”，所有的物品由若干主件和依賴于每個(gè)主件的一個(gè)附件集合組成。

按照背包問題的一般思路，僅考慮一個(gè)主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一個(gè)也不選，僅選擇主件，選擇主件后再選擇一個(gè)附件，選擇主件后再選擇兩個(gè)附件……無法用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來表示如此多的策略。（事實(shí)上，設(shè)有n個(gè)附件，則策略有2^n+1個(gè)，為指數(shù)級。）

考慮到所有這些策略都是互斥的（也就是說，你只能選擇一種策略），所以一個(gè)主件和它的附件集合實(shí)際上對應(yīng)于P06中的一個(gè)物品組，每個(gè)選擇了主件又選擇了若干個(gè)附件的策略對應(yīng)于這個(gè)物品組中的一個(gè)物品，其體積和價(jià)值都是這個(gè)策略中的物品的值的和。但僅僅是這一步轉(zhuǎn)化并不能給出一個(gè)好的算法，因?yàn)槲锲方M中的物品還是像原問題的策略一樣多。

考慮P06： 可以對每組中的物品應(yīng)用P02中“一個(gè)簡單有效的優(yōu)化”。?

這提示我們，對于一個(gè)物品組中的物品，所有體積相同的物品只留一個(gè)價(jià)值最大的，不影響結(jié)果。所以，我們可以對主件i的“附件集合”先進(jìn)行一次01背包，得到體積依次為0..V-w[i]所有這些值時(shí)相應(yīng)的最大價(jià)值f'[0..V-w[i]]。那么這個(gè)主件及它的附件集合相當(dāng)于V-w[i]+1個(gè)物品的物品組，其中體積為w[i]+k的物品的價(jià)值為f'[k]+c[i]。

也就是說原來指數(shù)級的策略中有很多策略都是冗余的，通過一次01背包后，將主件i轉(zhuǎn)化為V-w[i]+1個(gè)物品的物品組，就可以直接應(yīng)用P06的算法解決問題了。

【較一般的問題】

更一般的問題是：依賴關(guān)系以圖論中“森林”（即多叉樹的集合）的形式給出，也就是說，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每個(gè)物品最多只依賴于一個(gè)物品（只有一個(gè)主件）且不出現(xiàn)循環(huán)依賴。

解決這個(gè)問題仍然可以用將每個(gè)主件及其附件集合轉(zhuǎn)化為物品組的方式。唯一不同的是，由于附件可能還有附件，就不能將每個(gè)附件都看作一個(gè)一般的01背包中的物品了。若這個(gè)附件也有附件集合，則它必定要被先轉(zhuǎn)化為物品組，然后用分組的背包問題解出主件及其附件集合所對應(yīng)的附件組中各個(gè)費(fèi)用的附件所對應(yīng)的價(jià)值。

事實(shí)上，這是一種樹形DP，其特點(diǎn)是每個(gè)父節(jié)點(diǎn)都需要對它的各個(gè)兒子的屬性進(jìn)行一次DP以求得自己的相關(guān)屬性。

這已經(jīng)觸及到了“泛化物品”的思想，看完P(guān)08后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)“依賴關(guān)系樹”每一個(gè)子樹都等價(jià)于一件泛化物品，求某節(jié)點(diǎn)為根的子樹對應(yīng)的泛化物品相當(dāng)于求其所有兒子的對應(yīng)的泛化物品之和。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P07 —— 有依赖背包的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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