【樹的定義】

樹是一種非線性的有序數據結構，能很好地描述有分支和層次特性的數據集合，其是遞歸定義的。

一顆樹是由 n(n>=0) 個元素組成的有限集合，其中：

• 當 n=0 時，稱為空樹
• 每個元素稱為結點(node)

對于任何一棵非空樹，滿足以下條件：

• 有且僅有一個特定的根結點 (root)，其沒有前驅。
• 除根節點外每個結點都有唯一一個前驅結點
• 每個結點都有 0 或多個后繼結點
• 當 n>1 時，除根結點之外的其余結點被分成 m(m>0) 個互不相交的有限集合 T1,T2,…,Tm，其中每個集合又是一棵樹，并稱為這個根結點的子樹。

【樹的基本概念】

• 一個結點的子樹個數，稱為結點的度（degree），樹中各節點的度的最大值稱為這棵樹的度（tree degree）
• 度為 0 的結點稱為葉結點（leaf node），度不為 0 的結點稱為分支結點（branch node），根以外的分支結點稱為內部結點（internal node）
• 連接兩個相關聯的結點的線段稱為樹枝（branch）
• 上端結點為下端結點的父節點（parent node），下端結點為上端結點的子結點（children node），同一個父結點的多個子結點互稱兄弟結點（brother node）
• 從根結點到某個子結點所經過的所有結點稱為這個子結點的祖先（ancestor），以某個結點為根的子樹中的任一結點都是該結點的子孫（descendant）
• 規定一棵樹的根結點的層次（level）為 1，其它結點的層次等于它的父結點層次 +1
• 一棵樹中所有的結點的層次的最大值稱為樹的深度（depth）
• 將樹中結點按照從上層到下層，同層中從左到右的次序依次從 1 開始編號，這種編號方式稱為層序編號（level code），通過層序編號可以將一棵樹變為線性序列
• 對于樹中任意兩個不同的結點，如果從一個結點出發，自上而下沿著樹中連著結點的線段能到達另一結點，則稱它們之間存在著一條唯一的路徑（path），路徑上經過的邊數稱為路徑長度（path length），從根節點出發，到樹中的其余結點一定存在著一條路徑，不同子樹上的結點之間不存在路徑。
• 若一棵樹中結點的各子樹從左到右是有次序的，即若交換結點各子樹的相對位置會構成不同的樹，則稱為有序樹（ordered tree），反之，交換結點各子樹的相對位置后為同一棵樹，則為無序樹（unordered tree）
• m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林（forest）

以下圖為例：

????

• 根節點：1，葉結點有：3、5、6、8、9，分支結點有：1、2、4、7，內部結點有：2、4、7，這棵樹的度為：3
• 對于根結點1來說，它是2、3、4的父節點，同時2、3、4是結點1的子節點，它們又是兄弟結點
• 對于結點8來說，1、4、7是它的祖先；對于4來說，7、8、9是它的子孫
• 根節點的層次為0，結點2、3、4的層次為1，結點5、6、7的層次為2，結點8、9的層次為3，這棵樹的深度為3
• 對于結點1與結點8自己存在的路徑，可用1、4、7、8來表示該路徑，該路徑的長度為3

【樹的存儲結構】

樹的存儲結構分為：父親表示法、孩子表示法、父親孩子表示法、孩子兄弟表示法

上述四種方法各有優劣，在應用時應根據實際情況靈活使用，具體內容：點擊這里

【樹的遍歷】

樹中最基本的操作是遍歷。

樹的遍歷是從根節點出發，按照某種次序訪問樹中的所有結點，使得每個結點僅被訪問一次。

根據樹的定義可知：一棵樹由根節點和 m 棵子樹構成，因此只要遞歸的遍歷根節點和 m 棵子樹即可遍歷整棵樹。

樹的遍歷通常分為三種方式：

• 前序遍歷：先訪問根結點，再從左到右按照先序思想遍歷各棵子樹。（實質上是深度優先遍歷）
• 后序遍歷：先從左到右遍歷各棵子樹，再訪問根結點。（實質上是深度優先遍歷）
• 層次遍歷：按層次從小到大逐個訪問，同一層次按照從左到右的次序。（實質上是廣度優先遍歷）

以下圖為例

先序遍歷的結果：125634789

后序遍歷的結果：562389741

層次遍歷的結果：123456789

總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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