總第173篇/張俊紅

01.前言

在前面我們講過簡單的單因素方差分析，這一篇我們講講雙因素方差分析以及多因素方差分析，雙因素方差分析是最簡單的多因素方差分析。

單因素分析就是只考慮一個因素會對要比較的均值產(chǎn)生影響，而多因素分析是有多個因素會對均值產(chǎn)生影響。

需要注意的是一個因素可能會有不同的水平值，即不同的取值。比如要判斷某一款藥對某種病癥有沒有效果，服用不同的劑量效果應該是不一樣的，雖然因素都是服藥這一個因素，但是不同的藥劑量代表不同的水平。

雙因素(多因素)方差分析又可以分為兩種，一種是有交互作用的，一種是沒有交互作用的。啥意思呢？什么是交互作用呢？

比如我們大家所熟知的，牛奶和藥是不可以一起吃的，如果單獨喝牛奶有助于身體蛋白質(zhì)的補充，如果單獨吃藥可以有助于治療病癥，但是牛奶和藥同時吃就會把兩者的作用抵消掉。這種兩者之間的相互作用就可以理解成是交互作用，當然了，有的時候交互是正向呢，有的時候是負向的。

02.無交互作用方差分析

現(xiàn)在有如下一份不同品牌不同地區(qū)的產(chǎn)品銷量數(shù)據(jù)表，想要看一下不同品牌和不同地區(qū)這兩個因素是否對銷量有顯著性影響：

我們先來看看無交互作用的雙因素方差分析具體怎么做呢，所謂的無交互也就是假設品牌和地區(qū)之間是沒有交互作用的，相互不影響，只是彼此單獨對銷量產(chǎn)生影響。

前面單因素方差分析中，我們是用F值去檢驗顯著性的，多因素方差分析也同樣是用F值.

F = 組間方差/組內(nèi)方差。

對于沒有交互作用的多因素，可以單純理解為多個單因素。也就是你可以單獨去看品牌對銷量的影響，然后再單獨去看地區(qū)對銷量的影響。

那單獨怎么看呢？這就回到了我們前面講過的單因素方差分析。

我們先來計算品牌的組內(nèi)平方和:

SSA?=?(每個品牌的均值?-?全部銷量均值)^2*每個品牌內(nèi)樣本數(shù)
????=?(344.20-328.45)^2*5?+?(347.80-328.45)^2*5?+?(337.00-328.45)^2*5?+?(284.80-328.45)^2*5
????=?13004.55

我們再來計算地區(qū)的組內(nèi)平方和:

SSB?=?(每個地區(qū)的均值?-?全體銷量均值)^2*每個地區(qū)內(nèi)樣本數(shù)
????=?(339.00-328.45)^2*4?+?(330.25-328.45)^2*4?+?(339.25-328.45)^2*4?+?(318.25-328.45)^2*4
????=?2011.7

接著我們來計算全部平方和：

SST?=?(每個值-總體均值)^2
????=?17888.95

除此之外還有一個平方和：

SSE?=?SST?-?SSA?-?SSB

這部分是除品牌和地區(qū)以外的其他因素所產(chǎn)生的，稱為隨機誤差平方和。

有了平方和以后，我們同樣需要求取均方，而均方 = 平方和/自由度。

SST的自由度 = 總水平數(shù) - 1 = 19
SSA的自由度 = 品牌的水平數(shù) - 1 = 3
SSB的自由度 = 地區(qū)的水平數(shù) - 1 = 4
SSE的自由度 = SSA的自由度*SSB的自由度 = 12

平方和有了，自由度也有了，均方MS也就可以求出來了，接下來進入到最重要的F值求取，

品牌因素的F值 = SSA/SSE
地區(qū)因素的F值 = SSB/SSE

最后可以通過查F值表獲得在置信度為95%的情況下時的F邊界值表，然后和實際的F值作比較，最后做出是否顯著的判斷。如下表：

03.有交互作用方差分析

某交通部門想要知道高峰期與路段是否會對汽車的行車時間有影響，通過人工采集得到了如下數(shù)據(jù)：

本次分析需要考慮峰期與路段之間的交互作用，某些路段的峰期行車時間可能異常偏高或偏低等。

和無交互作用的多因素方差分析流程類似，我們先計算峰期的平方和：

SSA?=?(每個峰期內(nèi)的均值-總體均值)^2*每個峰期內(nèi)樣本數(shù)
????=?(23.2-20.25)^2*10?+?(17.3-20.25)^2*10
????=?174.05

再來計算路段的平方和：

SSB?=?(每個路段內(nèi)的均值-總體均值)^2*每個路段內(nèi)樣本數(shù)
????=?(22.4-20.25)^2*10?+?(18.1-20.25)^2*10
????=?92.45

再來計算交互作用的平方和：

SSAB?=?(每個路段&峰期內(nèi)的均值-該路段內(nèi)的均值-該峰期內(nèi)的均值+總體均值)^2*每個區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)
?????=?(25.4-23.2-22.4+20.25)^2*5?+?(21-23.2-18.1+20.25)^2*5?+?(19.4-17.3-22.4+20.25)^2*5?+?(15.2-17.3-18.1+20.25)^2*5
?????=?0.05

接著計算全部平方和：

SST?=?(每個值-總體均值)^2
????=?329.75

最后來計算誤差平方和：

SSE?=?SST?-?SSA?-?SSB?-?SSAB

SST的自由度 = 總樣本數(shù) - 1 = 19
SSA的自由度 = 峰期數(shù) - 1 = 1
SSB的自由度 = 路段數(shù) - 1 = 1
SSAB的自由度 = SSA的自由度*SSB的自由度 = 1
SSE的自由度 = SST的自由度 - SSA的自由度 - SSB的自由度 - SSAB的自由度

經(jīng)過求均方，查F表，就可得到如下表：

04.方差分析與回歸分析異同

上面通過以有無交互作用的雙因素方差分析為例，給大家把多因素方差分析中涉及到的計算過程都演示了一遍，實際工作中我們是不需要自己手動進行計算的，直接通過Excel、Python都可以計算得到。以后專門講解工具如何實現(xiàn)。

通過上面的多因素方差分析，我們就可以得出來不同因素對某一目標值(銷量/行車時間等)的影響情況，你可能會有這樣的疑問，那這和多元回歸有什么區(qū)別呢？多元回歸不也是求取多個x和一個y的關系么？那這兩個是一樣的嗎？

還是有些不太一樣的，方差分析只是告訴你某個因素的影響顯著不顯著，而沒有告你影響有多大，回歸分析是告訴你具體影響有多大。方差分析是一種定性分析，解決有沒有的問題；回歸分析是一種定量分析，解決有多少的問題。

你還可以看：

聊聊置信度與置信區(qū)間統(tǒng)計學的假設檢驗一元線性回歸分析方差分析卡方檢驗講解

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的双因素方差分析_多因素方差分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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