總第173篇/張俊紅

01.前言

在前面我們講過(guò)簡(jiǎn)單的單因素方差分析，這一篇我們講講雙因素方差分析以及多因素方差分析，雙因素方差分析是最簡(jiǎn)單的多因素方差分析。

單因素分析就是只考慮一個(gè)因素會(huì)對(duì)要比較的均值產(chǎn)生影響，而多因素分析是有多個(gè)因素會(huì)對(duì)均值產(chǎn)生影響。

需要注意的是一個(gè)因素可能會(huì)有不同的水平值，即不同的取值。比如要判斷某一款藥對(duì)某種病癥有沒(méi)有效果，服用不同的劑量效果應(yīng)該是不一樣的，雖然因素都是服藥這一個(gè)因素，但是不同的藥劑量代表不同的水平。

雙因素(多因素)方差分析又可以分為兩種，一種是有交互作用的，一種是沒(méi)有交互作用的。啥意思呢？什么是交互作用呢？

比如我們大家所熟知的，牛奶和藥是不可以一起吃的，如果單獨(dú)喝牛奶有助于身體蛋白質(zhì)的補(bǔ)充，如果單獨(dú)吃藥可以有助于治療病癥，但是牛奶和藥同時(shí)吃就會(huì)把兩者的作用抵消掉。這種兩者之間的相互作用就可以理解成是交互作用，當(dāng)然了，有的時(shí)候交互是正向呢，有的時(shí)候是負(fù)向的。

02.無(wú)交互作用方差分析

現(xiàn)在有如下一份不同品牌不同地區(qū)的產(chǎn)品銷(xiāo)量數(shù)據(jù)表，想要看一下不同品牌和不同地區(qū)這兩個(gè)因素是否對(duì)銷(xiāo)量有顯著性影響：

我們先來(lái)看看無(wú)交互作用的雙因素方差分析具體怎么做呢，所謂的無(wú)交互也就是假設(shè)品牌和地區(qū)之間是沒(méi)有交互作用的，相互不影響，只是彼此單獨(dú)對(duì)銷(xiāo)量產(chǎn)生影響。

前面單因素方差分析中，我們是用F值去檢驗(yàn)顯著性的，多因素方差分析也同樣是用F值.

F = 組間方差/組內(nèi)方差。

對(duì)于沒(méi)有交互作用的多因素，可以單純理解為多個(gè)單因素。也就是你可以單獨(dú)去看品牌對(duì)銷(xiāo)量的影響，然后再單獨(dú)去看地區(qū)對(duì)銷(xiāo)量的影響。

那單獨(dú)怎么看呢？這就回到了我們前面講過(guò)的單因素方差分析。

我們先來(lái)計(jì)算品牌的組內(nèi)平方和:

SSA?=?(每個(gè)品牌的均值?-?全部銷(xiāo)量均值)^2*每個(gè)品牌內(nèi)樣本數(shù)
????=?(344.20-328.45)^2*5?+?(347.80-328.45)^2*5?+?(337.00-328.45)^2*5?+?(284.80-328.45)^2*5
????=?13004.55

我們?cè)賮?lái)計(jì)算地區(qū)的組內(nèi)平方和:

SSB?=?(每個(gè)地區(qū)的均值?-?全體銷(xiāo)量均值)^2*每個(gè)地區(qū)內(nèi)樣本數(shù)
????=?(339.00-328.45)^2*4?+?(330.25-328.45)^2*4?+?(339.25-328.45)^2*4?+?(318.25-328.45)^2*4
????=?2011.7

接著我們來(lái)計(jì)算全部平方和：

SST?=?(每個(gè)值-總體均值)^2
????=?17888.95

除此之外還有一個(gè)平方和：

SSE?=?SST?-?SSA?-?SSB

這部分是除品牌和地區(qū)以外的其他因素所產(chǎn)生的，稱(chēng)為隨機(jī)誤差平方和。

有了平方和以后，我們同樣需要求取均方，而均方 = 平方和/自由度。

SST的自由度 = 總水平數(shù) - 1 = 19
SSA的自由度 = 品牌的水平數(shù) - 1 = 3
SSB的自由度 = 地區(qū)的水平數(shù) - 1 = 4
SSE的自由度 = SSA的自由度*SSB的自由度 = 12

平方和有了，自由度也有了，均方MS也就可以求出來(lái)了，接下來(lái)進(jìn)入到最重要的F值求取，

品牌因素的F值 = SSA/SSE
地區(qū)因素的F值 = SSB/SSE

最后可以通過(guò)查F值表獲得在置信度為95%的情況下時(shí)的F邊界值表，然后和實(shí)際的F值作比較，最后做出是否顯著的判斷。如下表：

03.有交互作用方差分析

某交通部門(mén)想要知道高峰期與路段是否會(huì)對(duì)汽車(chē)的行車(chē)時(shí)間有影響，通過(guò)人工采集得到了如下數(shù)據(jù)：

本次分析需要考慮峰期與路段之間的交互作用，某些路段的峰期行車(chē)時(shí)間可能異常偏高或偏低等。

和無(wú)交互作用的多因素方差分析流程類(lèi)似，我們先計(jì)算峰期的平方和：

SSA?=?(每個(gè)峰期內(nèi)的均值-總體均值)^2*每個(gè)峰期內(nèi)樣本數(shù)
????=?(23.2-20.25)^2*10?+?(17.3-20.25)^2*10
????=?174.05

再來(lái)計(jì)算路段的平方和：

SSB?=?(每個(gè)路段內(nèi)的均值-總體均值)^2*每個(gè)路段內(nèi)樣本數(shù)
????=?(22.4-20.25)^2*10?+?(18.1-20.25)^2*10
????=?92.45

再來(lái)計(jì)算交互作用的平方和：

SSAB?=?(每個(gè)路段&峰期內(nèi)的均值-該路段內(nèi)的均值-該峰期內(nèi)的均值+總體均值)^2*每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)
?????=?(25.4-23.2-22.4+20.25)^2*5?+?(21-23.2-18.1+20.25)^2*5?+?(19.4-17.3-22.4+20.25)^2*5?+?(15.2-17.3-18.1+20.25)^2*5
?????=?0.05

接著計(jì)算全部平方和：

SST?=?(每個(gè)值-總體均值)^2
????=?329.75

最后來(lái)計(jì)算誤差平方和：

SSE?=?SST?-?SSA?-?SSB?-?SSAB

SST的自由度 = 總樣本數(shù) - 1 = 19
SSA的自由度 = 峰期數(shù) - 1 = 1
SSB的自由度 = 路段數(shù) - 1 = 1
SSAB的自由度 = SSA的自由度*SSB的自由度 = 1
SSE的自由度 = SST的自由度 - SSA的自由度 - SSB的自由度 - SSAB的自由度

經(jīng)過(guò)求均方，查F表，就可得到如下表：

04.方差分析與回歸分析異同

上面通過(guò)以有無(wú)交互作用的雙因素方差分析為例，給大家把多因素方差分析中涉及到的計(jì)算過(guò)程都演示了一遍，實(shí)際工作中我們是不需要自己手動(dòng)進(jìn)行計(jì)算的，直接通過(guò)Excel、Python都可以計(jì)算得到。以后專(zhuān)門(mén)講解工具如何實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)上面的多因素方差分析，我們就可以得出來(lái)不同因素對(duì)某一目標(biāo)值(銷(xiāo)量/行車(chē)時(shí)間等)的影響情況，你可能會(huì)有這樣的疑問(wèn)，那這和多元回歸有什么區(qū)別呢？多元回歸不也是求取多個(gè)x和一個(gè)y的關(guān)系么？那這兩個(gè)是一樣的嗎？

還是有些不太一樣的，方差分析只是告訴你某個(gè)因素的影響顯著不顯著，而沒(méi)有告你影響有多大，回歸分析是告訴你具體影響有多大。方差分析是一種定性分析，解決有沒(méi)有的問(wèn)題；回歸分析是一種定量分析，解決有多少的問(wèn)題。

你還可以看：

聊聊置信度與置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)的假設(shè)檢驗(yàn)一元線(xiàn)性回歸分析方差分析卡方檢驗(yàn)講解

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的双因素方差分析_多因素方差分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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