實際工程中，很多用到平衡二叉查找樹的地方都是紅黑樹。
==》為何是紅黑樹？而不是其他平衡二叉查找樹？

• 其他二叉樹不適用于單次操作時間非常敏感的場景。
• AVL樹對于頻繁的插入、刪除操作的數(shù)據(jù)集合代價有些高==》紅黑樹維護成本比AVL要低
  

一、平衡二叉查找樹

平衡二叉樹：二叉樹中任意一個節(jié)點的左右子樹的高度相差不能大于1。
完全二叉樹、滿二叉樹都是平衡二叉樹；但非完全二叉樹也可能是平衡二叉樹

AVL樹——最早被發(fā)明的平衡二叉查找樹

“平衡二叉樹”思想：解決普通二叉查找樹在頻繁的插入、刪除等動態(tài)更新的情況下，出現(xiàn)時間復(fù)雜度退化的問題。
==》整棵樹左右更對稱些，不要出現(xiàn)左子樹很高、右子樹很矮的情況，相應(yīng)的插入、刪除、查找等操作的效率高一些。
==》設(shè)計新的平衡二叉樹，只要樹的高度不比log₂n大很多，就可以說其實一個合格的平衡二叉樹。

1、紅黑樹(Red-Black Tree,簡稱R-B Tree)

• 紅黑樹是一種不嚴(yán)格的平衡二叉查找樹

（1）紅黑樹：

• 根節(jié)點是黑色的；
• 每個葉子節(jié)點都是黑色的空節(jié)點（NIL），也就是說，葉子節(jié)點不存儲數(shù)據(jù)；
• 任何相鄰節(jié)點都不能同時為紅色，也就是說，紅色節(jié)點被黑色節(jié)點隔開的；
• 每個節(jié)點，從該節(jié)點到其可達葉子節(jié)點的所有路徑，都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點。
  

（2）高度分析

• 將紅色節(jié)點從紅黑樹中去掉，只留黑色節(jié)點
  ==》有些節(jié)點沒有父節(jié)點，它們會將這些節(jié)點的祖父節(jié)點作為父節(jié)點
  ==》會出現(xiàn)多叉樹(eg: 四叉樹的情況)
  ==》僅包含黑色節(jié)點的多叉樹的高度，比包含相同節(jié)點個數(shù)的完全二叉樹的高度要小。
  ==》去掉紅色節(jié)點的“黑樹”的高度不超過log₂n。
  

• 將紅色節(jié)點添加回去——紅色節(jié)點不能相鄰，也就是說有一個紅色節(jié)點就要至少有一個黑色節(jié)點，將其跟其他紅色節(jié)點隔開
  ==》高度不會超過2log₂n，也就是說，紅黑樹的高度近似2log₂n。

（3）小結(jié)

紅黑樹的高度只比高度平衡的AVL樹的高度（log₂n）僅僅大了一倍，在性能上，下降得并不多。

二、平衡調(diào)整

1、左旋（rotate left）和右旋（rotate right）

紅黑樹的插入、刪除操作會破壞紅黑樹的定義，也就是說，會破壞紅黑樹的平衡性。

左旋：圍繞某個節(jié)點的左旋。
右旋：圍繞某個節(jié)點的右旋。

2、插入操作的平衡調(diào)整

紅黑樹規(guī)定：插入的節(jié)點必須是紅色的，而且新插入的節(jié)點必須放在葉子節(jié)點上。

（1）兩種特殊情況：

• 若插入節(jié)點的父親節(jié)點是黑色的，則不需要做什么。因為：它仍滿足紅黑樹的定義
• 若插入的節(jié)點是根節(jié)點，則直接改變其顏色，將其變?yōu)楹谏?/li>
• ==》其他情況，均違背紅黑樹的定義，則需要進行調(diào)整——左右旋轉(zhuǎn)、改變顏色

（2）平衡調(diào)整過程——迭代過程

關(guān)注關(guān)節(jié)：正在處理的節(jié)點。它會隨著不停地迭代處理，而不斷發(fā)生變化。
==》最開始的關(guān)注節(jié)點就是新插入的接待呢

新節(jié)點插入后，若平衡被打破，則一般會出現(xiàn)下面三種情況：
（這里，將父節(jié)點的兄弟節(jié)點稱為叔叔節(jié)點，父節(jié)點的父節(jié)點稱為祖父節(jié)點）

case1 : 若關(guān)注節(jié)點是 a，它的叔叔節(jié)點d是紅色，則

• 將關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 、叔叔節(jié)點 d 的顏色均設(shè)置為黑色；
• 將關(guān)注節(jié)點 a 的祖父節(jié)點 c 的顏色設(shè)置為紅色；
• 關(guān)注節(jié)點變成 a 的祖父節(jié)點 c ；
• 跳轉(zhuǎn)case2 或者 case3
  

case2：若關(guān)注節(jié)點是a，它叔叔節(jié)點d是黑色，關(guān)注節(jié)點a是其父節(jié)點b的右子節(jié)點，則：

• 關(guān)注節(jié)點變?yōu)楣?jié)點 a 的父節(jié)點 b；
• 圍繞新的關(guān)注節(jié)點 b 左旋；
• 跳轉(zhuǎn) case3
  

case3：若關(guān)注節(jié)點是 a，它叔叔節(jié)點 d 是黑色，關(guān)注節(jié)點 a 是其父節(jié)點b的左子結(jié)點，則

• 圍繞關(guān)注節(jié)點 a 的祖父節(jié)點 c 右旋；
• 將關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b、兄弟節(jié)點 c 的顏色互換；
• 調(diào)整結(jié)束

3、刪除操作的平衡調(diào)整

思路：根據(jù)關(guān)注節(jié)點與周圍節(jié)點的排布特點，按照一定的規(guī)則去調(diào)整來達到平衡

刪除操作的平衡調(diào)整方法：

• 第一步，針對刪除節(jié)點初步調(diào)整。
  • 使其的每個節(jié)點，從該節(jié)點到達其可達葉子節(jié)點的所有路徑，都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點（紅黑樹定義中最后一條）
• 第二步，針對關(guān)注節(jié)點進行二次調(diào)整。
  • ==》不存在相鄰的兩個紅色節(jié)點（紅黑樹定義中第三條）

（1）針對刪除節(jié)點初步調(diào)整

注1：有些節(jié)點會被標(biāo)記成兩種顏色，“紅 - 黑” 或 “黑 - 黑”。若標(biāo)記為“黑 - 黑”，則在計算黑色節(jié)點個數(shù)時，要算成兩個黑色節(jié)點。
注2：畫圖時：若一個節(jié)點既可以是紅色，又可以是黑色==》用一半紅色一半黑色表示；若一個節(jié)點是“紅 - 黑”或“黑 - 黑”==》在左上角用小黑點表示額外的黑色。

case1：若要刪除的節(jié)點是 a，它只有一個子節(jié)點 b，則：

• 刪除節(jié)點a，并把節(jié)點 b 替換到節(jié)點 a 的位置；（同普通的二叉樹刪除操作一樣）
• 節(jié)點 a 只能是黑色，節(jié)點 b 也只能是紅色，其他情況均不符合紅黑樹定義。這種情況下，將節(jié)點 b 改為黑色。。
• 調(diào)整結(jié)束，不需要進行二次調(diào)整。
  

case2：若要刪除的節(jié)點 a 有兩個非空子節(jié)點，并且它的后繼節(jié)點就是節(jié)點 a 的右子節(jié)點 c，則

• 若節(jié)點 a 的后繼節(jié)點就是右子節(jié)點 c，那右子節(jié)點 c 肯定沒有左子樹。則把節(jié)點 a 刪除，并且將節(jié)點 c 替換到節(jié)點 a 的位置。（該部分與普通的二叉查找樹的刪除操作相同）
• 然后將節(jié)點 c 的顏色設(shè)置為與節(jié)點 a 相同的顏色；
• 若節(jié)點 c 是黑色，為了不違反紅黑樹最后一條定義，將節(jié)點 c 的右子節(jié)點 d 多加一個黑色，此時節(jié)點 d 就成了“紅 - 黑”或“黑 - 黑”；
• 此時，關(guān)注節(jié)點變成節(jié)點 d，第二步的調(diào)整就針對關(guān)注節(jié)點進行操作
  

case3：若要刪除的是節(jié)點 a，有兩個非空子節(jié)點，并且節(jié)點 a 的后繼節(jié)點不是右子節(jié)點，則：

• 找到后繼節(jié)點 d，并將其刪除，刪除后繼節(jié)點 d 的過程參考 case 1；
• 將節(jié)點 a 替換成后繼結(jié)點 d；
• 把節(jié)點 d 的顏色設(shè)置為與節(jié)點 a 相同的顏色；
• 若節(jié)點 d 是黑色，將節(jié)點 d 的右子節(jié)點 c 多加一個黑色，則節(jié)點 c 變成“紅 - 黑”或“黑 - 黑”（紅黑樹定義最后一條）
• 關(guān)注節(jié)點變成節(jié)點 c，第二步調(diào)整操作針對關(guān)注點進行調(diào)整。
  

（2）針對關(guān)注節(jié)點二次調(diào)整

經(jīng)過初步調(diào)整，關(guān)注節(jié)點變成了“紅 - 黑”或“黑 - 黑”節(jié)點。
二次調(diào)整的目的：紅黑樹中不存在相鄰的紅色節(jié)點
==》四種情況：

case1：若關(guān)注節(jié)點是 a，其兄弟節(jié)點 c 是紅色，則：

• 圍繞關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 左旋；
• 關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 和 祖父節(jié)點 c 交換顏色；
• 關(guān)注節(jié)點不變；
• 繼續(xù)從四種情況中選擇合適的規(guī)則來調(diào)整。
  

case2：若關(guān)注節(jié)點是 a，其兄弟節(jié)點 c 是黑色，并且節(jié)點 c 的 左右子節(jié)點 d、e都是黑色，則：

• 將關(guān)注節(jié)點 a 的兄弟節(jié)點 c 的顏色設(shè)置為 紅色；
• 從關(guān)注節(jié)點 a 中去掉一個黑色==》節(jié)點 a 為單純的紅色或黑色；
• 給關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 添加一個黑色==》節(jié)點 b 變成“紅 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 關(guān)注節(jié)點從 a 變成其父節(jié)點 b；
• 繼續(xù)從四種情況中選擇符合的規(guī)則來調(diào)整。
  

case3：關(guān)注節(jié)點是 a，其兄弟節(jié)點 c 是黑色，c 的左子結(jié)點 d 是紅色，c 的右子節(jié)點 e 是黑色，則：

• 圍繞關(guān)注節(jié)點 a 的兄弟節(jié)點 c 左旋；
• 節(jié)點 c 和節(jié)點 d 交換顏色；
• 關(guān)注節(jié)點不變；
• 跳轉(zhuǎn)case4，繼續(xù)調(diào)整。
  

case4：若關(guān)注節(jié)點 a 的兄弟節(jié)點 c 是黑色，且 c 的右子節(jié)點是紅色，則：

• 圍繞關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 左旋；
• 將關(guān)注節(jié)點 a 的兄弟節(jié)點 c 的顏色，跟關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 設(shè)置為相同的顏色；
• 將關(guān)注節(jié)點 a 的父節(jié)點 b 的顏色設(shè)置為黑色；
• 從關(guān)注節(jié)點 a 中去掉一個黑色，節(jié)點 a 就變成單純的紅色或黑色；
• 將關(guān)注節(jié)點 a 的叔叔節(jié)點 e 設(shè)置為黑色；
• 調(diào)整結(jié)束。
  

三、TIPs

• 找準(zhǔn)關(guān)注節(jié)點，不要搞丟、搞錯關(guān)注節(jié)點

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的十三、红黑树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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