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堆（Heap）

堆排序是一種原地的、時間復雜度為O(nlogn)的排序算法。

引入：快速排序平均情況下，時間復雜度為O(nlogn)，甚至堆排序比快速排序的時間復雜度還要穩定，但在實際中，快排性能要比堆排序好，為什么？？？

一、堆的概述

堆——是一種特殊的樹

• 堆是一個完全二叉樹（除了最后一層，其他層的節點個數都是滿的，最后一層的節點都是靠左排列）
• 堆中每一個節點的值都必須大于等于（或小于等于）其子樹中每個節點的值（也就是說，堆中每個節點的值都大于等于（或小于等于）其左右子節點的值）

大頂堆：對于每個節點的值都大于等于子樹中每個節點的堆。

小頂堆：對于每個節點的值都小于等于子樹中每個節點的堆。

注意：對于同一組數據，可以構建多種不同形態的堆（大頂堆可有不同形態，小頂堆同理）

二、堆的操作

ps：以大頂堆為例

1、插入操作

• 把新插入的元素放在堆的最后；
• 堆化（heapify）：對堆進行調整，使其重新滿足堆的特性
  • 兩種堆化方法：
    • 思路：順著節點所在的路徑，向上或向下進行對比，然后交換
    • （1）從下往上（如下圖所示）
    • （2）從上往下

==》code

public class Heap {private int[] a; // 數組，從下標1開始存儲堆中的數據private int n; // 堆可以存儲的最大數據個數private int count; // 堆中已經存儲的數據個數// 初始化public Heap(int capacity) {a = new int[capacity + 1];n = capacity;count = 0;}public void insert(int data) {if(count >= n)return; // 堆滿了count++;a[count] = data;int i = count;while(i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) {// 自下往上堆化// swap()函數用于交換下標為 i 和 i/2 的兩個元素swap(a, i, i/2);i = i/2;}} }

2、刪除堆頂元素

棧頂元素存儲的就是堆中數據的最大值或最小值。

以大頂堆為例，堆頂元素就是最大元素。當刪除堆頂元素之后，則需要把第二大的元素放到堆頂，第二大元素必為于左右子節點中。然后迭代地刪除第二大節點，以此類推，直到葉子節點被刪除。
==》會出現數組空洞，也就是堆化出來的堆并不滿足完全二叉樹的特性。

解決方法：

• 將最后一個元素放在堆頂；
• 然后利用同樣的父子節點對比方法：若不滿足父子節點大小關系，則交換兩個節點并重復該過程，直到父子節點之間滿足大小關系為止。==》從上往下的堆化方法
  

實現代碼：

public void removeMax() {// 堆中沒有數據if (count == 0) return -1;a[1] = a[count];--count;heapify(a, count, 1); }private void heapify(int[] a, int n, int i) {// 自上往下堆化while(true) {int maxPos = i;// 尋找最大值的位置if(i*2 <= n && a[i] < a[i/2])maxPos = i * 2;if(i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1])maxPos = i * 2 + 1;if(maxPos == i)break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;} }

3、時間復雜度分析

① 一個包含 n 個節點的完全二叉樹，樹的高度不會超過 log₂n；
② 堆化過程是順著節點所在路徑比較交換的
==》堆化時間復雜度與樹高成正比，也就是O(logn)
==》插入數據和刪除堆頂元素主要邏輯是堆化
==》時間復雜度O(logn)

三、堆的存儲

完全二叉樹比較適合用數組來存儲，非常節省存儲空間。

• 原因：不需要存儲左右節點的指針，可單純地通過數組的下標，來找到節點的左右子節點和父節點。（根節點存儲在數組下標為1的位置，數組下標為i的節點的左子結點的下標為2*i，右子節點的下標為2*i+1）
  

四、堆排序的實現

• 時間復雜度為O(n²)：冒泡排序、插入排序、選擇排序
• 時間復雜度為O(nlogn)：歸并排序、快速排序、線性排序

1、堆排序

堆排序：基于堆這種數據結構實現的排序算法。

堆排序時間復雜度非常穩定的原地排序算法——O(nlogn)

堆排序的過程大致分解為：建堆和排序

（1）建堆

目標：將數組原地建成一個堆。 原地就是不借助另一個數組，就在原數組上進行操作。

思路一：將元素依次插入堆中，數組下標從1開始。該思路從前往后處理數組數據，并且每個數據插入堆中時，都是從下往上堆化。

思路二

• 與思路一相反，從后往前處理數組，并且每個數據都是從上往下堆化。
  

• 思路二代碼實現：

private static void buildHeap(int[] a, int n) {for(int i = n/2; i >= 1; --i){heapify(a, n, i); // 自上往下堆化} }private void heapify(int[] a, int n, int i){// 自上往下堆化while(true){int maxPos = i;if(i*2 <= n && a[i] < a[i*2])maxPos = i*2;if(i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1])maxPos = i*2 + 1;if(maxPos == i)break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;} }

• 分析：代碼僅對下標從 n/2 開始到 1 的數據進行堆化，下標從 n/2+1 到 n 的節點是葉子節點，不需要堆化

• 時間復雜度：

  • 節點堆化的時間復雜度：O(logn)
  • n/2 個節點堆化的總時間復雜度：O(nlogn) ==》不夠精確
  • 堆排序的建堆過程的時間復雜度：O(n)

• 推導過程：
  ① 由于葉子節點不需要堆化，所以需要堆化的節點從倒數第二層開始；
  ② 每個節點堆化的過程中，需比較和交換的節點個數，與該節點的高度 k (從節點到葉節點的路徑長度)成正比
  
  ③ 將每個非葉子節點的高度求和，公式如下：
  
  
  ④ 由于 h = log₂n，代入公式S，可得 S = O(n)
  ⑤ 時間復雜度——O(n)

（2）排序——大頂堆《==》小頂堆

• 建堆后，數組中的數據已經是按照大頂堆的特性組織的；
  • 將數組中的第一個元素（堆頂）與最后一個元素交換，則最大元素就放在下標為 n 的位置；
  • 類似“刪除堆頂元素”的操作，然后通過堆化方法將剩下的 n-1 個元素重新構建為堆；
  • 重復上述過程，直到最后堆只剩一個下標為1的一個元素

• 代碼

// n 表示數據的個數，數組 a 中的數據從下標 1 到 n 的位置。 public static void sort(int[] a, int n) {buildHeap(a, n);int k = n;while(k > 1){swap(a, 1, k);--k;heapify(a, k, 1);} }

• 分析

  • 原地排序算法：整個堆排序過程，都只需要極個別臨時存儲空間。
  • 時間復雜度：建堆O(n)+排序O(nlogn)
    • ==》整體時間復雜度： O(nlogn)
  • 不穩定排序算法：在排序過程中，存在將堆的最后一個節點跟堆頂點互換的操作，可以改變值相同數據的原始相當順序。

注意：若堆中數據從數組下標0開始存儲，則節點下標為 i 時，其左子節點下標為 2i+1，右子節點的下標為2i+2，其父節點的下標為 (i-1)/2

五、在實際開發中，為什么快排要比堆排序性能好？

• 堆排序數據訪問的方式沒有快速排序友好。
  • 快排數據——順序訪問
  • 堆排序數據——跳著訪問==》對CPU緩存不友好
• 對于同樣的數據，在排序過程中，，堆排序算法的數據交換次數要多于快速排序。
  • 快排數據交換的次數不會比逆序度多；
  • 堆排序的建堆過程會打亂數據原有的相對前后順序，導致原數據的有序度降低；

六、堆應用

場景：假設現有一個包含10億個搜索關鍵詞的日志文件，如何快速獲取熱門榜 Top 10 的搜索關鍵詞？

思路：

• 通過哈希算法求取對應的哈希值，然后對哈希值同 10 取模，得到的結果就是這個搜索關鍵詞應被分到的文件編碼。
• 然后利用散列表和堆，分別求取 Top 10，將10個Top 10放在一起，取Top 10。

1、優先級隊列

• 優先級隊列：數據的出隊順序不是先進先出，而是按照優先級來，優先級最高的，最先出隊。
• 堆可以看作為一個優先級隊列——往優先級隊列插入一個元素，就相當于往堆中插入一個元素；從優先級隊列中取出最高的元素，就相當于取出堆頂元素。
• 應用：赫夫曼編碼、圖的最短路徑、最小生成樹算法等等。
• 實現：JAVA 中 PriorityQueue，C++的priority_queue等。

（1）合并有序小文件

目標：假設存在100個小文件，每個文件大小為100M，每個文件中存儲都是有序的字符串。==》合并成一個有序的大文件。

思路1：類似歸并排序中的合并函數。分別從100個文件中，各取第一個字符串，放入數組，然后比較，將最小的字符串放入合并后的大文件中，并從數組中刪除；然后從最小字符串文件中取下一個字符串，并放入數組，重復上述過程，直到所有的文件中的數據都放入到大文件為止。

思路2：利用優先級隊列，也就是利用堆。從小文件中取出字符串放入小頂堆中，那堆頂的元素就是優先級隊列隊首的元素，即最小的字符串；將該字符串放入大文件中，并將其從堆中刪除；然后再從小文件中取出下一個字符串，放入到堆中，重復上述過程，直到可以將100個小文件中的數據依次放入大文件中。
==》刪除堆頂數據和往堆中插入數據的時間復雜度：O(logn)，n表示堆中的數據個數，這里是100

（2）高性能定時器

目標：有個定時器，定時器中維護很多定時任務，每個任務都設定了一個要觸發執行的時間點。定時器每過一個很小的單位時間就要掃描一次任務，看是否有任務達到設定的執行時間，若達到，則執行。

思路：利用優先級隊列按照設定的執行時間，將這些任務存儲到優先級隊列中，隊列首部（堆頂）存儲的就是最先執行的任務。
==》只需取隊首任務的執行時間點，與當前時間相減，就得到一個時間間隔 T。
==》該時間間隔 T 就是從當前時間開始到第一個任務需要被執行的所需時間；從當前時間點到（T-1）這段時間內，定時器不需要做任何事情，當T時間過后，定時器取優先級隊列中隊首的任務執行。然后再計算新的隊首任務的執行時間點與當前時間點的差值。

2、求 Top K

場景：將求 Top K 的問題抽象成兩類。

• 針對靜態數據集合——數據集合事先確定，不再改變；
• 針對動態數據集合——數據集合事先不確定，有數據動態地插入到集合中。

（1）靜態數據

在包含n個數據的數組中，查找前 K 大數據
==》維護一個大小為 K 的小頂堆，順序遍歷數組，從數組中取出數據與堆頂元素比較。若比堆頂元素大，則刪除堆頂元素，將這個元素插入到堆中；若比堆頂元素小，則繼續遍歷數組。
==》 遍歷數組的時間復雜度：O(n)
==》一次堆化操作的時間復雜度：O(logK)
==》最壞情況下，n個元素都入堆一次，時間復雜度：O(nlogK)

（2）動態數據

針對動態數據求得 Top K 就是實時 Top K。

一個數據集合中有兩個操作：

• 添加數據：
• 詢問當前的前 K 大數據：
  • 維護一個大小為 K 的小頂堆，當有數據被添加到集合中時，將其與堆頂元素比較。若比堆頂元素大，則刪除堆頂元素，將這個元素插入到堆中；若比堆頂元素小，則不做處理。

3、利用堆求中位數

目標：求動態數據集合中的中位數。

中位數：

• 若數據的個數是奇數，把數據從小往大排，第 n/2+1 個數據就是中位數；
• 若數據的個數是偶數，把數據從小往大排，第 n/2 個數據和第 n/2+1 個數據的單獨一個或均值或…就是中位數(此處為第 n/2 個數據)；
  

（1）利用堆高效地實現求中位數

通過維護兩個堆：一個大頂堆，一個小頂堆。 大頂堆中存儲前半部分數據，小頂堆中存儲后半部分數據，且小頂堆中的數據都大于大頂堆中數據。

靜態數據

如果有 n 個數據，n 是偶數，我們從小到大排序，那前 n/2 個數據存儲在大頂堆中，后 n/2 個數據存儲在小頂堆中。這樣，大頂堆中的堆頂元素就是我們要找的中位數。如果 n 是奇數，情況是類似的，大頂堆就存儲 n/2+1 個數據，小頂堆就存儲 n/2 個數據。

動態數據

若新加入的數據小于等于大頂堆的堆頂元素，則將這個新數據插入到大頂堆；否則若新加入的數據大于等于小頂堆的堆頂元素 ，則將這個新數據插入到小頂堆。

若兩個堆中的數據個數不符合前面約定的情況：

• 若 n 是偶數，則兩個堆中數據個數都是 n/2；
• 若 n 為奇數，則大頂堆有 n/2+1 個數據，小頂堆有 n/2 個數據；
• 若兩個堆數據個數不滿足約定，則從一個堆中不停地將堆頂元素移動到另一個堆，通過這樣的調整，讓兩個堆的數據滿足上面約定。
  
  ==》插入數據需要堆化操作，所以時間復雜度：O(logn)
  ==》中位數只需返回大頂堆的堆頂元素，所以時間復雜度：O(1)

（2）利用堆求百分位的數據

目標：快速求接口的 99% 響應時間？
注：99 百分位數的概念可以類比中位數，如果將一組數據從
小到大排列，這個 99 百分位數就是大于前面 99% 數據。

如果有 n 個數據，將數據從小到大排列之后，99 百分位數大
約就是第 n*99% 個數據，同類，80 百分位數大約就是第 n*80% 個數據。

為了保持大頂堆中的數據占 99%，小頂堆中的數據占 1%，
在每次新插入數據之后，我們都要重新計算，這個時候大頂堆和小頂堆中的數據個數，是否還符合 99:1 這個比例。如果不符合，我們就將一個堆中的數據移動到另一個堆，直到滿足這個比例。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的十四、堆(Heap)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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