數(shù)組與廣義表專題

• 數(shù)組的順序表示和實(shí)現(xiàn)
• • 前言
  • 數(shù)組中任意一個(gè)元素存儲(chǔ)地址的計(jì)算
  • • 一維數(shù)組
    • 二維數(shù)組
    • 更一般的二維數(shù)組
• 矩陣的壓縮存儲(chǔ)
• • 前言
  • 對(duì)稱矩陣
  • 三角矩陣
  • • 前言
    • 上三角對(duì)應(yīng)關(guān)系
    • 下三角關(guān)系
  • 三對(duì)角矩陣
  • • 下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系
• 稀疏矩陣
• • 前言
  • 稀疏矩陣的三元組表示
  • 用三元組表示矩陣的轉(zhuǎn)置
  • 優(yōu)化快速轉(zhuǎn)置

數(shù)組的順序表示和實(shí)現(xiàn)

前言

在計(jì)算機(jī)中，內(nèi)存儲(chǔ)器的結(jié)構(gòu)是一維的 。用一維的內(nèi)存來表示多維數(shù)組，就必須按照某種次序?qū)?shù)組元素排成一個(gè)線性序列。

數(shù)組中任意一個(gè)元素存儲(chǔ)地址的計(jì)算

一維數(shù)組

$$Loc(a_i)=Loc(a_0)+i?L(0<=i<n)$$
其中 L為數(shù)組中每個(gè)元素需要占用L個(gè)存儲(chǔ)單元。

二維數(shù)組

$a_{ij}$位于第i+1行，第j+1列，前面i行一共有$n?i$個(gè)元素，在該列前面又有$j$個(gè)元素。所以二維數(shù)組$A_{m?n}$中任一元素$a_{ij}$的存儲(chǔ)位置如下
$$LOC(a_{ij})=LOC(a_{00})+(i?n+j)?L$$

更一般的二維數(shù)組

上面假設(shè)的是二維數(shù)組的行、列下界是從0開始的。在更一般的情況下，二維數(shù)組的行下界為$r_1$,行下界為$r_2$,列下界為$c_1$,行下界為$c_2$。即二維數(shù)組$A[r_1..r_2][c_1...c_2]$的存儲(chǔ)地址如下表示
$$LOC(a_{ij})=LOC(a_{r_1{c}_1})+[(i?r_1)?(c_2?c_1+1)+(j?c_1)]?L$$

矩陣的壓縮存儲(chǔ)

前言

二維數(shù)組在形式上是矩陣，因此一般用二維數(shù)組來存儲(chǔ)矩陣。在不壓縮存儲(chǔ)的情況下，矩陣采用按行優(yōu)先或按列優(yōu)先方式存儲(chǔ)，占用的存儲(chǔ)單元數(shù)等于矩陣的元素個(gè)數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常出現(xiàn)一些階數(shù)很高的矩陣，同時(shí)在矩陣中非零元素呈某種規(guī)律分布或者矩陣中有大量的零元素，若仍然用常規(guī)方法存儲(chǔ)，可能存儲(chǔ)重復(fù)的非零元素或零元素，這將造成存儲(chǔ)空間的大量浪費(fèi)。因此對(duì)這類矩陣進(jìn)行壓縮存儲(chǔ)，從而合理地利用存儲(chǔ)空間。

為了節(jié)省存儲(chǔ)空間，可以利用特殊矩陣的規(guī)律，對(duì)它們進(jìn)行壓縮存儲(chǔ)，也就是說為多個(gè)值相同的元素只分配一個(gè)存儲(chǔ)單元，對(duì)零元素不分配空間。適合壓縮存儲(chǔ)的矩陣一般是值相同的元素或者零元素在矩陣中分布有一定規(guī)律的特殊矩陣和稀疏矩陣。常見的特殊矩陣有對(duì)稱矩陣、三角矩陣和對(duì)角矩陣。

對(duì)稱矩陣

因?yàn)閷?duì)稱矩陣以對(duì)角線對(duì)稱的元素的值相同，一般可以用一個(gè)數(shù)組來存儲(chǔ)矩陣的上三角或者下三角的元素即可。

• 行下標(biāo)大于等于列下標(biāo)稱為下三角。列下標(biāo)大于等于行下標(biāo)稱為上三角。
• 在壓縮之后元素個(gè)數(shù)有$n^2$減少到$n?(n+1)/2$
• 設(shè)k為存儲(chǔ)下三角元素的一維數(shù)組的下標(biāo)。其k與二維數(shù)組下標(biāo)中的i、j的關(guān)系如下：
  $$k=i?(i+1)/2+j$$
  如果是上三角則是：
  $$k=j?(j+1)/2+i$$

三角矩陣

前言

以主對(duì)角線劃分，三角矩陣有上三角和下三角兩種。把主對(duì)角線以下(不包括主對(duì)角線)的元素均為常數(shù)c的n階矩陣，稱為上三角矩陣；把主對(duì)角線以上(不包括主對(duì)角線)的元素均為常數(shù)c的n階矩陣，稱為下三角矩陣。上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。三角矩陣中的常數(shù)c在多數(shù)情況下為0。這個(gè)c表示的是除了上三角或下三角以外的其余元素，因?yàn)槎际且粯拥乃锌梢杂靡粋€(gè)單元位置來存儲(chǔ)即可。

上三角對(duì)應(yīng)關(guān)系

$$x=\{\begin{array}{ll}i?(2n?i+1)/2+j?i& i<=j\\ n?(n+1)/2& i>j\end{array}$$

下三角關(guān)系

$$x=\{\begin{array}{ll}i?(i+1)/2+j& i>=j\\ n?(n+1)/2& i<j\end{array}$$

三對(duì)角矩陣

三對(duì)角矩陣按行序?yàn)橹餍?/strong>存儲(chǔ)時(shí)，將壓縮到一個(gè)數(shù)組中，第0行和第n-1行是2個(gè)非零元素，其余每行的非零元素都是3個(gè)，則需存儲(chǔ)的元素個(gè)數(shù)為3n-2.