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在開(kāi)始今天的正式內(nèi)容之前，先補(bǔ)充一個(gè)創(chuàng)建矩陣的方法——由向量組合成矩陣。A=[1;2;3]，B=A+3，C=B+3，A, B, C 均為列向量，矩陣D由向量A， B，C 構(gòu)成，D=[A B C]，則D是一個(gè)3x3的矩陣。示例如下：

矩陣的秩

矩陣的秩是矩陣中線性無(wú)關(guān)的行向量的數(shù)目。在matlab中求矩陣的秩用rank()命令，如：求前述矩陣D的秩，通過(guò)觀察的方法，矩陣的第三行減去第二行后都為1，第二行減去第一行后都為1。此時(shí)，矩陣的第二行和第三行都為1，兩行線性相關(guān)可以消除其中一行，觀察可知矩陣的的秩為2，下面用matlab 驗(yàn)證一下。示例如下：

下面我們來(lái)隨機(jī)生成一個(gè)矩陣E并求rank(E)。示例如下：

矩陣E的秩為5，說(shuō)明矩陣E的各行均線性無(wú)關(guān)。

下面我們對(duì)矩陣E做一個(gè)簡(jiǎn)單的改造，將矩陣E的第五行換成第一行和第二行的和，此時(shí)矩陣E的第五行就可以用第一行和第二行線性表示了，即第五行可以通過(guò)行變換化為全零，此時(shí)rank(E)應(yīng)該等于4。在matlab中驗(yàn)證一下：

簡(jiǎn)化梯形矩陣

在筆算求矩陣的秩時(shí)，通常都會(huì)對(duì)矩陣做梯形簡(jiǎn)化，方便觀察矩陣的秩，在解線性方程組時(shí)也會(huì)做這樣的簡(jiǎn)化。matlab中使用rref()命令來(lái)獲得簡(jiǎn)化梯形矩陣。示例如下：

通過(guò)簡(jiǎn)化后的梯形矩陣，很容易就能觀察到矩陣D的秩為2。

再來(lái)看看矩陣E，示例如下：

通過(guò)簡(jiǎn)化后的梯形矩陣，很容易就能觀察到矩陣E的秩為4。此處默認(rèn)將非零行的第一個(gè)非零元素化為1，所以后面出現(xiàn)了實(shí)數(shù)。

線性方程組

有了前面內(nèi)容的鋪墊，現(xiàn)在可以很方便的求解線性方程組的解了，并觀察解的性質(zhì)。給定如下方程組：

將方程組的系數(shù)矩陣記作M，?等式右邊的向量記作b。則：

看看系數(shù)矩陣M的秩：

rank(M)=2，滿秩，說(shuō)明方程組有唯一解。通過(guò)消元法，可以很容易解得x1=2，x2=5，這個(gè)在中學(xué)就學(xué)習(xí)過(guò)。

這里從線性代數(shù)的角度來(lái)求解這個(gè)方程組，一是Cramer 法則求解，二是高斯消元法，分述如下：

1. Cramer 法則：

首先計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式detM；再用向量b替換M的第一列，并計(jì)算其行列式detM1，則 x1=detM1/detM;?同理，用b替換M的第二列，計(jì)算detM2，則 x2=detM2/detM。下面，在matlab中完成上述計(jì)算過(guò)程并驗(yàn)證結(jié)果。

如上圖所示，x1=2，x2=5，結(jié)果與筆算一樣。這里舉例用了二元方程組，對(duì)于變量個(gè)數(shù)多余2的時(shí)候，matlab的簡(jiǎn)便性就更突出了。

2.?高斯消元法

高斯消元法是將系數(shù)矩陣M和列向量b組合在一起，做行變換得到簡(jiǎn)化梯形矩陣，再求解。仍然用上面的方程組做實(shí)驗(yàn)：

令：Mb=[M b]

經(jīng)過(guò)梯形簡(jiǎn)化后，方程組變?yōu)槿缦滦问?#xff1a;

一眼就能觀察出來(lái)，x1=2，x2=5。比高斯消元法還要簡(jiǎn)單。

再補(bǔ)充一個(gè)三元線性方程組：

系數(shù)矩陣仍記作M，等式右邊的向量記作b。

先計(jì)算rank(M):

rank(M)=3，滿秩，方程組有唯一解。

先用Cramer 法則求解：

計(jì)算各個(gè)行列式的值：

計(jì)算x1，x2，x3的值：

再看看高斯消元法求解：

經(jīng)過(guò)梯形簡(jiǎn)化后，方程組變?yōu)槿缦滦问?#xff1a;

可以很方便的得到 x1=8，x2=15，x3=6。

解線性方程組是科學(xué)計(jì)算中的一個(gè)很重要很基本的部分，除了上面介紹的方法，關(guān)于線性方程組的解法還有很多種，后面會(huì)陸續(xù)介紹。對(duì)于那些不是線性的方程組，在經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，也可以化作線性方程組來(lái)求解。所以，線性方程組的解法是科學(xué)計(jì)算的一個(gè)基石。

這么簡(jiǎn)單實(shí)用的工具，不來(lái)用一下嗎！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c++求矩阵的秩_Matlab：矩阵的秩，简化梯形矩阵和线性方程组的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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