(1)稀疏矩陣的特點

在一個m×n的矩陣中，設矩陣中有i個元素不為零，并令△=i/(m×n)，稱△為稀疏因子。通常當△≤0.05時。認為該矩陣為稀疏矩陣。

對這類矩陣實現壓縮存儲的基本思路是只需要存儲其非零元素，但由于稀疏矩陣中零元素的分布沒有一定規律，所以必須同時記下零元素所在的行和列。才能對矩陣有效的縮壓，并能正確的恢復它。

(2)稀疏矩陣的壓縮存儲原理

只存儲非零元素a_i，j和相應的行、列序號i、j。具體方法：對稀疏矩陣中每一個非零元素設定一個三元組(i,j,a_i,j)，將所有三元組按行優先排列，組成一個三元組表(線性表)。只要存儲三元組表和該矩陣的行、列數，就能唯一確定該矩陣。

例5.8 按稀疏矩陣的壓縮存儲方法，求矩陣A的存儲信息。

稀疏矩陣A

分析：設左上角的元素所在位置為第1行第1列，矩陣的行、列及非零元素個數為：(5，6，6)相應的三元組表為：(1,2,12)(1,3,9)(3,1,3)(3,6,14)(4,3,24)(5,2,16)。

(3)存儲方法

通過上述轉換，對稀疏矩陣的壓縮存儲，化為對其三元組表和相關信息的存儲。

用結構體類型描述三元組

typedef struct{ int i , j ;detetype e;}triple d; /* 三元組類型 */

結構體triple的成員i，j分別是非零元素的行、列下標，成員e是非零元素。 triple d 說明了triple類型的結構體變量d，并分配了存儲單元，如圖5-9(a)所示。triple data [10]說明了triple類型的有10個數組元素的結構體數組，如圖5-9(b)所示。

三元組類型的變量和數組的結構圖

用結構體類型描述三元組表和相關信息

typedef struct{ int mu, nu, tu ;triple data [ max+1] ; /*max+1是最多的元素個數*/}triplegrupe; /*三元組表類型*/triplegrupe a;

說明了三元組表類型的變量a，有4個成員項，mu﹑nu分別表示稀疏矩陣的行﹑列數，tu表示稀疏矩陣中的非零元素的個數；data表示非零元素的三元組表。

例5.9

矩陣

稀疏矩陣a的存儲結構

(4)算法舉例

例5.10 如圖5-12所示，求壓縮存儲的稀疏矩陣A的轉置矩陣A^T。

A與其轉置矩陣AT

分析：

由A得到三元組表：

((1，1，1)，(1，3，5)，(1，5，2)，(2，1，7)，(3，1，3)，(3，3，6))

把上述三元組表中的各三元組的行﹑列互換得到的A^T的三元組表為：

((1，1，1)，(3，1，5)，(5，1，2)，(1，2，7)，(1，3，3)，(3，3，6))

存在問題：按上述方法得到的轉置后矩陣A^T的新三元組表沒有能按行序為主序存儲。

為了使新三元組表要按行序為主序存儲，就要按原表的列為主序排列。而原三元組表是按行序為主存儲的，所以同一列中的各行已按行序由小到大順序排列。

方法如下：

按第1，2，3，…n列的順序，逐次掃描A相應的三元組表，依次把得到的第1，2，…，n列的三元組中的行、列互換，存入新三元組表。每次掃描中，因為相同列的三元組按掃描的先后順序存入。這保證了新三元組表以行序為主針對A的三元組表：

以第1列掃描，找到：(1，1，1)，(2，1，7)，(3，1，3)。

交換行和列的坐標存入新表。

以第2列掃描，未找到。

以第3列掃描，找到：(1，3，5)，(3，3，6)。

交換行和列的坐標存入新表。

以第4列掃描，未找到。

以第5列掃描，找到：(1，5，2)。

交換行和列的坐標存入新表。

新表為：

(1，1，1)，(1，2，7)，(1，3，3)，(3，1，5)，(3，3，6)，(5，1，2)

程序

void transpose (triplegrupe a, tripletgrupe b){ int p,q,col;b.mu=a.nu;b.nu =a.mu;b.tu =a.tu;if(b.tu){ q=1;for(col=1 ; col≤a.nu; col++)for(p=1 ; p≤a.tu; p++)if(a.data[p].j==col){ b.data[q].i=a.data[p].j;b.data[q].j= a.data[p].i;b.data[q].v=a.data[p].e；q++;}}}

其中：

a是稀疏矩陣的三元組表，b是轉置矩陣的三元組表；

p是稀疏矩陣的三元組數組下標.q是轉置矩陣的三元組數組下標；

a.mu是稀疏矩陣的行數，a.nu是稀疏矩陣的列數；

a.tu是稀疏矩陣三元組數元素的個數；

col是循環變量。

在稀疏矩陣三元組中從第1列掃描到a.nu列，若找到相應列的三元組，則把行﹑列互換存入轉置矩陣的三元組。

存儲變化示意圖

轉置前：如圖5-13(a)、圖5-13(b)、圖5-13(c)所示。

轉置后：如圖5-13(d)、圖5-13(e)、圖5-13(f)所示。

程序運行前后存儲變化示意圖(a)矩陣A；(b)矩陣A的行﹑列信息；(C)矩陣A的三元組數組

總結

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