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? ? ? ?好久沒寫博客了，這個(gè)系列就來聊聊數(shù)學(xué)，我們知道數(shù)學(xué)是一種工具，更是一種思想，在我們的日常生活和工作中都有廣泛的應(yīng)用。

? ? ? ?比如算法中有一種叫做“遞推思想”，轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)上來說就是“數(shù)列”，而我們苦逼的coding，復(fù)雜度搞死也只能控制在O(N)，但有沒有

想過對(duì)這種問題可以一針見血，一刀斃命,這就需要用到“數(shù)學(xué)”上的知識(shí)。猴子吃桃?問題就是一個(gè)活生生的例子，評(píng)論上給出了很好的解決方

案，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該能讓它解決點(diǎn)實(shí)際上的問題，下面來推導(dǎo)一下。

? ? ?為了方便，將遞推公式寫成：

? a_n=2a_n-1+2 ?①

已知首項(xiàng)：a₁=1

將①變形得

?a_n+2=2(a_n-1+2) ? ? ? ?②

由②可推導(dǎo)

?a_n-1+2=2(a_n-2+2) ? ?③

?a_n-2+2=2(a_n-3+2) ? ?④

? ?...

?a₃+2=2(a₂+2) ? ? ? ? ?...

?a₂+2=2(a₁+2) ? ? ? ? ?...

然后我們將這N-1項(xiàng)相乘，化簡(jiǎn)得

a_n+2=2^n-1(a₁+2) ?⑤

又因?yàn)?a1=1 則通項(xiàng)公式為

a_n=2^n-1*3-2 ? ? ? ?⑥

根據(jù)”遞推公式“我們求出了”通項(xiàng)公式“，現(xiàn)在我們可以秒殺任何一天的桃子數(shù)量，現(xiàn)在又來問題了，如何求出前N天的桃子總和，在

數(shù)列中對(duì)應(yīng)的就是求前n項(xiàng)和的問題，在得知a_n的情況下，求S_n也是秒殺效果。

⑥式是典型的{na_n+b_n}模型，針對(duì)這個(gè)模型，我們拆分成{na_n}+{b_n}，然后分別計(jì)算它們的前n項(xiàng)和，最后合并。

<1> ? 3*2^n-1?的前n項(xiàng)和為： ? S_n=3*2⁰+3*2¹+3*2²+3*2³+...+ 3*2^{n-1 ? ? ? ??}⑦

變形⑦可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2S_n=3*2¹+3*2²+3*2³+...+3*2ⁿ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧

⑦-⑧得（錯(cuò)位相減）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-S_n=3*2⁰-3*2ⁿ

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=> ? ?S_n=3*2ⁿ-3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

<2> ?2的前n項(xiàng)和為： => ? ?Tn=2n

綜合兩部分結(jié)果可知：S_m=3*2^m-3-2m。

最后我們推導(dǎo)出了?猴子吃桃?問題的前n項(xiàng)和，當(dāng)你苦逼coding的時(shí)候，人家早已推導(dǎo)出了，而且復(fù)雜度宇宙第一...

?

上面的場(chǎng)景只是想讓大家知道數(shù)列對(duì)我們來說非常重要，后面我會(huì)拿算法上的題目用數(shù)學(xué)來KO，讓你知道不懂?dāng)?shù)學(xué)簡(jiǎn)直就弱爆了，

作為數(shù)列專題篇，基礎(chǔ)知識(shí)必不可少，同樣我也可以鞏固和復(fù)習(xí),嘿嘿。

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在數(shù)列中：通項(xiàng)公式，遞推公式，前n項(xiàng)和始終貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)的始終，首篇要了解下面幾點(diǎn)：

①： ?能夠目測(cè)簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。

? ? ? ? 比如：1,4,9,16,.....?

? ? ? ? ? ? ? ?1,0,1,0....

②： ?能夠根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，比如（猴子吃桃問題）

③： ?能夠根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

? ? ? ? ?an= ? ?s1 ? ? ? ? (n=1)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?s_n-s_n-1 (n>=2)

④： 能夠求數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n

? ? ? ?常用方法：倒序相加，錯(cuò)位相減， 分項(xiàng)相消法（有技巧），倍數(shù)法。

⑤： 能夠理解{a_n+b_n},{a_nb_n}模型的前N項(xiàng)求和問題。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的天籁数学——数列篇（1）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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