算法詳解 很長時間內都沒有能夠很理解KMP算法的精髓，尤其是很多書上包括《算法導論》沒有把next函數（亦或 π函數）講解的很透徹。 今天去看了matrix67大牛博客中關于kmp部分的講解，有點兒醍醐灌頂的感覺，當然也只是理解了一點淺層次罷了。 我嘗試著用自己的語言說一下自己的理解，順便鍛煉一下自己渣一般的邏輯組織能力。。。。。。 下面開始正題吧~~~ ? 我們知道單模字符串匹配基本就是三種方法： 一、樸素枚舉。最壞時間復雜度O(mn)。 二、Rabin-Karp。需要O(m)的預處理。雖然最壞時間復雜度也是O(mn)，但出現最壞情況的幾率比樸素法小很多，所以這種方法實際應用還是比較廣泛的。 三、Knuth-Morris-Pratt。即KMP算法。O(m)的預處理時間，O(n)的匹配時間，非常高效。 ? 先從樸素枚舉法說起吧。枚舉法就是從字符串的第一位開始，把每一位都作為開頭來與模式串逐位匹配一次，如果匹配失敗則開始下一位做開頭試，直到找到匹配為止。 i ?= 1 2 3 4?5?6 …… A = a a a b?a?a … B = a a a b?a?c b j ?= 1 2 3 4?5?6 7 我們知道，要優化一個算法就要知道它哪里做了多余的事情。從上面情況來看，在i == j == 6時當前匹配失敗，樸素法會把模式串試著與i == 2做開頭匹配，但是從我們前面已經得到的信息已經可以得出，i == 2做開頭是不可能匹配成功的，所以樸素枚舉在這里就做了無用功（也可以說 i 指針做了無用的回溯）。（而且我們要發現在某種壞的情況下它做了相當多的無用功！比如這種情況：000000000000000000000001，模式串00000000001） 那么我們應該想到一個優化了。抽象一下就是，當我們前面已經匹配A[i-j..i-1] == B[1..j]，而遇到A[i] != B[j+1]時，我們可以快速（O(1)時間內）找到一個新的j，使得新的A[i-j..i-1] == B[1..j]，并且A[i] == B[j+1]，這樣我們的 i 指針就可以不動，緊接著向下匹配就好了。為了能夠快速找到這樣的j，我們使用一個輔助的next[]數組（π數組），next[j]記錄當B[j+1] != A[i]時，新的j的位置。 這樣我們的KMP算法的大致代碼就是： [cpp] string T,P; bool KMP() { bool flag = false; int n = T.length(); int m = P.length(); int j = -1; for (int i = 0; i < n; i ++) { while(j > -1 && B[j+1] != A[i]) j = next[j]; if (B[j+1] == A[i]) j ++; if (j == m - 1) { flag = true; //匹配成功 break; //j = next[j]; } } return flag; }[/cpp] 前面說過，next[]的值是由前面匹配時已經得到的信息得出來的，那么我們發現next[]的值只與模式串有關。（因為前面已經匹配的地方A、B串是一樣的，所以只由一個B串是可以得到信息的），這樣我們就可以通過對模式串（B串）進行預處理來求出next[]。 那么怎么樣根據模式串求出next[]呢？舉個例子來說明： i ?= 1 2 3 4?5?6 …… A = a b a b?a?b … B = a b a b?a?c b j ?= 1 2 3 4?5?6 7 當i == 6 ，j == 5時A[i] != B[j+1]，那么這時我們應該調整j了，手動調整一下可以發現新的j == 3，即next[5] = 3。 i ?= 1 2 3 4?5?6 …… A = a b a b?a?b?… B = ? ? ?a b a b?a?c?b j ?= ? ? ?1 2 3 4?5?6 7 發現沒有，新的j'要滿足情況，則需要滿足B[1..j‘]與B[j-j'+1..j]匹配。 那么我們可以得出一個樸素的O(m²)的求next[]的方法了。對于每一個j，枚舉j'，找出符合條件的最大的j'就行了。但是明顯這個算法是不夠優的（如果m很大怎么辦？） 實際上上面一句話已經啟示我們到底該怎么求next[]了，“滿足B[1..j']與B[j-j'+1..j]匹配”，這就是一個模式串自身匹配的過程啊！ 我們看個求next[]（這里是π[]）的圖： 我們看看next[j]可不可以由next[1..j]的信息得出。假設當前要求next[6]。由j == next[5] == 3可得到，B[1..3] == B[3..5]，而此時B[4] != B[6]，所以此時匹配失敗，需要回溯重新匹配了。但我們不想回溯啊！前面說了回溯是做無用功啊！那么我們是不是要找一個新的j'使得B[1..j'] == B[5-j'+1..5]。那么怎么找呢？由B[1..3] == B[3..5]可以知道我們可以這么求：B[1..j'] == B[3-j'+1..3]（想想為什么可以這樣，可以看看上面那個圖），那不就是next[j]了么~~~ 寫一下代碼來加深理解： [cpp] void GetNext() { next[0] = -1; int j = -1; int m = p.length(); for (int i = 1; i < m; i ++) { while(j > -1 && p[j+1] != p[i]) j = next[j]; if (p[j+1] == p[i]) j++; next[i] = j; } } [/cpp] 這樣我們的KMP算法就描述完了~~~ ? 專題訓練： ? ?POJ 3461 Oulipo（入門題） 光看樣例就一臉純模板題的樣兒。。。。。。 #include #include #include #include using namespace std;const int N = 1000100; string A, B; int pi[N];void getp() {memset(pi,0,sizeof(pi));int m = B.length();pi[0] = -1;int j = -1;for (int i = 1;i < m; i ++){while(j > -1 &&B[j+1] != B[i]) j = pi[j];if (B[j+1] == B[i]) j++;pi[i] = j;} } int kmp() {int res = 0;getp();int n = A.length();int m = B.length();int j = -1;for (int i = 0; i < n; i ++){while(j > -1 && A[i] !=B[j+1]) j = pi[j];if (A[i] == B[j+1]) j++;if (j == m - 1){res ++;j = pi[j];}}return res; } int main() {int tt;scanf("%d",&tt);while (tt--){cin>>B;cin>>A;cout<?POJ 1226 Substrings （最長公共子串。KMP + 二分）數據范圍很小，隨便搞吧？=。=。其實就是二分答案長度，枚舉出該長度的每一個串，然后用KMP驗證。總復雜度O(n*len²*log(len))吧，可以接受的。但是我怎么可以這么弱？各種小錯誤啊調試了2個小時了吧靠靠靠靠這么個水題。。。。。。 #include #include #include #include using namespace std;char s[110][110]; char p[110]; int pi[110]; void getpi() {int m = strlen(p);int j = -1;pi[0] = -1;for (int i = 1; i < m; i ++){while(j > -1 && p[j+1] != p[i]) j = pi[j];if (p[j+1] == p[i]) j++;pi[i] = j;} } bool kmp(int x) {getpi();int n = strlen(s[x]);int m = strlen(p);int j = -1;for (int i = 0; i < n; i ++){while(j > -1 && s[x][i] != p[j+1]) j = pi[j];if (s[x][i] == p[j+1]) j++;if (j == m - 1){return true;}}return false; } int BS(int n) {if (n == 1) return strlen(s[0]);int h = 0, t = strlen(s[0]) + 1;while(h <= t){memset(p,0,sizeof(p));int fg = 1;int mid = (h + t) >> 1;for (int i = 0; i < strlen(s[0]) - mid + 1; i ++){if (fg == n) break;else fg = 1;for (int k = 1; k < n; k ++){for (int j = 0; j < mid; j ++)p[j] = s[0][i + j];if (kmp(k)) fg++;else{for (int j = 0; j < mid; j ++)p[mid - j - 1] = s[0][i + j];if (kmp(k)) fg++;else break;}}}if (fg == n)h = mid + 1;else t = mid - 1;}return h - 1; } int main() {int t;scanf("%d",&t);while(t--){memset(p,0,sizeof(p));int n;scanf("%d",&n);for (int i = 0; i < n; i ++)scanf("%s",s[i]);printf("%d\n",BS(n));}return 0; } ?POJ 2406 Power String （最小周期（重復）子串。加深對next函數的理解） 首先要理解next數組表示的是字符串前綴的“對稱”程度。 然后記住這個結論：對于一個字符串s，如果len是(len - next[len])的倍數，那么len - next[len]就是s的最小周期子串。 證明一下（解釋不太清楚>.<……）：如果len是len-next[len]的倍數，假設m =?len-next[len] ，那么str[1-m] = str[m-2*m]，……，以此類推下去，m肯定是str的最小重復單元的長度。假如len不是len-next[len]的倍數， 如果前綴和后綴重疊，那么最小重復單元肯定str本身了，如果前綴和后綴不重疊，那么str[m-2*m] != str[len-m,len]，所以str[1-m]?!=?str[m-2*m] ,最終肯定可以推理出最小重復單元是str本身，因為只要不斷遞增m證明即可。 還是自己在紙上好好推演一下比較好。 #include #include #include using namespace std;const int N = 1000010; int pi[N]; char p[N];int getpi() {int m = strlen(p);pi[0] = -1;int j = -1;for (int i = 1; i < m; i ++){while(j > -1 && p[j+1] != p[i]) j = pi[j];if (p[j+1] == p[i]) j++;pi[i] = j;}int x = m - 1 - pi[m - 1];if (m % x == 0)return x;else return m; }int main() {while(scanf("%s",p)!=EOF){if (p[0] == '.') break;int l = strlen(p);printf("%d\n",l / getpi());}return 0; } ?HDU 3336 Count the String （KMP+DP） 問題抽象：求所有前綴在字符串中出現的次數。 暴力枚舉會達到O(n³)是不行的，枚舉前綴然后KMP也會達到O(n²)。當然對于前綴的情況我們應該利用好“前綴數組”------next數組。實際上現在很多題也都不是考KMP而是考next數組的靈活運用。（KMP裸模板題有什么好考的。。。） 我們把問題分成幾個子問題來看，用DP解決：f[i]表示以第i位為結尾的字符串匹配數。則sum =?∑f[i] 。 怎么利用next數組呢？我們知道next[i] = j表示串B[1...j] == B[i-j+1...i]，那么一部分串（B[i-j+1...i]的后綴串）與前綴的匹配是可以通過j來求出來的，因為相等關系，所以這部分f[i]等價于f[next[i]]。這只是一部分以i結尾的啊，那么以[1...i-j]某處開頭、以 i 結尾的串有沒有可能呢？答案是不可能的，如果與前綴匹配成功那么next[i]就不是j了（想想是不是~），當然要加上他本身（B[1..i]）是整個串前綴的情況，所以得出f[i] = f[next[i]] + 1。然后再算出sum就行了~~~ #include #include #include #include using namespace std;const int N = 200010; string s; int f[N],pi[N]; void getpi() {int m = s.length();pi[0] = -1;int j = -1;for (int i = 1; i < m; i ++){while(j > -1 && s[j+1] != s[i]) j = pi[j];if (s[j+1] == s[i]) j++;pi[i] = j;} } int ff() {getpi();int sum = 1;int m = s.length();f[0] = 1;for (int i = 1; i < m; i ++){f[i] = f[pi[i]] + 1;sum += f[i];sum %= 10007;}return sum; } int main() {int t;scanf("%d",&t);while(t--){int n;scanf("%d",&n);cin>>s;printf("%d\n",ff()%10007);}return 0; } （未完待續。。。）

轉載于:https://www.cnblogs.com/AbandonZHANG/archive/2012/10/23/4113948.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的字符串匹配のKMP【专题@AbandonZHANG】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。