其實就是怕忘了……這里發一下線性求逆元以及階乘的逆元的板子。

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線性求逆元

逆元是啥我就不說了，但是線性遞推式怎么來的我還是可以證明一下的。

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求 i 的逆元，假設[1, i - 1]的逆元已知。

設 p = k * i + b，則 b = p % i, k = ?p / i? 。

則k * i + b?Ξ 0 (mod p)，所以b?Ξ - k * i。

兩邊同乘inv[b]得：inv[b] * b?Ξ - k * i * inv[b] (mod p)

化簡得：　　? - k * i * inv[b]?Ξ 1 (mod p)

兩邊同乘inv[i]得：inv[i]?Ξ - k *inv[b] (mod p)

　　　　　　　　inv[i]?Ξ (p - k) * inv[b]

　　　　　　　　inv[i]?Ξ (p - ?p / i?) * inv[p % i]

所以　　　　　　inv[i] = (p - ?p / i?) * inv[p %i] % p

裝模作樣來個代碼。

1 inv[1] = 1; 2 for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

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線性求階乘的逆元

其實就是根據inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p倒著遞推而來。

先用費馬小定理求出inv[n]的逆元，然后倒著遞推。

1 ll quickpow(ll a, ll b) 2 { 3 a %= mod; 4 ll ret = 1; 5 for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) 6 if(b & 1) ret = ret * a % mod; 7 return ret; 8 } 9 ll fac[maxn], inv[maxn]; 10 void init(int n) 11 { 12 fac[1] = 1; 13 for(int i = 2; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod; 14 inv[n] = quickpow(fac[n], mod - 2); 15 for(int i = n - 1; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod; 16 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/mrclr/p/9833765.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的逆元板子集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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