歡迎大家來到《GAN優(yōu)化》專欄，這里將討論GAN優(yōu)化相關的內容，本次將和大家一起討論GAN的評價指標。

作者&編輯 | 小米粥

編輯 | 言有三

在判別模型中，訓練完成的模型要在測試集上進行性能測試，然后使用一個可以量化的指標來表明模型訓練的好壞，例如最簡單的，使用分類準確率評價分類模型的性能，使用均方誤差評價回歸模型的性能。同樣在生成模型GAN上也需要一個評價指標來量化GAN的生成效果。

1.?評價指標的要求

用于評價生成模型GAN優(yōu)劣的指標不可能是任意的，它應當盡可能考慮一些要求。這里列出幾條比較重要的要求：

(1) 能生成更為真實樣本的模型應當?shù)玫礁玫姆謹?shù)，也就是可評價樣本的生成質量

(2)能生成更具有多樣性樣本的模型應當?shù)玫礁玫姆謹?shù)，也就是可以評價GAN的過擬合、模式缺失、模式崩潰、簡單記憶（即GAN只是簡單記憶了訓練數(shù)據(jù)集）等問題，即多樣性。

(3)對于GAN的隱變量z，若有比較明確的“意義”且隱空間連續(xù)，那么可控制z得到期望的樣本，這樣的GAN應該得到更好的評價。

(4)有界性，即評價指標的數(shù)值最好具有明確的上界、下界。

(5)GAN通常被用于圖像數(shù)據(jù)的生成，一些對圖像的變換并不改變語義信息（例如旋轉），故評價指標對某些變換前后的圖像不應有較大的差別。

(6)評價指標給出的結果應當與人類感知一致。

(7)計算評價指標不應需要過多的樣本，不應有較大的計算復雜性。考慮到實際情況，這些要求往往都不能同時得到滿足，各個不同的指標也是各有優(yōu)缺。

2. IS系列

2.1 Inception Score

Inception Score指標適用于評價生成圖像的GAN。評價指標首先要評價GAN生成圖像的質量好壞，但是圖像質量是一個非常主觀的概念，不夠清晰的寵物狗的圖片和線條足夠明晰但“很奇怪”的圖片均應算作低質量的圖片，但計算機不太容易認識到這個問題，最好可以設計一個可計算的量化指標。

IS（Inception Score）采用了這樣的做法，將生成的圖片x送入已經訓練好Inception模型，例如Inception Net-V3，它是一個分類器，會對每個輸入的圖像輸出一個1000維的標簽向量y，向量的每一維表示輸入樣本屬于某類別的概率。假設我們的Inception Net-V3訓練得足夠好，那么對質量高的生成圖像x，Inception Net-V3可將其以很高的概率分類成某個類，分類器輸出y的數(shù)值比較集中，形如[0.9,...,0.02,0]。我們可以使用熵來量化該指標，分布p(y|x)相對于類別的熵定義為

其中，p(yi|x)表示x屬于第i類的概率，即yi值，為了避免歧義，計算方式展示如下圖所示：

熵是一種混亂程度的度量，對于質量較低的輸入圖像，分類器無法給出明確的類別，其熵應比較大，而對于質量越高的圖像，不確定性減少，其熵應當比較小，當p(y|x)為one-hot分布時，熵達到最小值0。

IS考慮的另一個度量指標即樣本的多樣性問題，若GAN產生的一批樣本{x1,x2,...,xn}多樣性比較好，則標簽向量{y1,y2,...,yn}的類別分布也應該是比較均勻的，也就是說不同類別的概率基本上是相等的（當然這里要假設訓練樣本的類別是均衡的），則其均值應趨向均勻分布，如下圖所示。

又因為

故可使用標簽向量y關于類別的熵來定量描述，若生成樣本的多樣性好（涵蓋的類別多），則p(y)相對于類別的熵越大；生成樣本的多樣性差，則p(y)相對于類別的熵越小，其中定義p(y)相對于類別的熵為

其中，p(yi)表示第i類的概率，即yi值。

將圖像質量和多樣性兩個指標綜合考慮，可以將樣本和標簽的互信息I(x,y)設計為生成模型的評價指標，互信息描述了給定一個隨機變量后，另一個隨機變量的不確定性減少程度。又被稱為信息增益，即?

又根據(jù)

KL散度表示兩個分布的差值，當KL散度值越大時，表示兩個分布的差異越大；KL散度值越小，分布的差異越小，對所有樣本，計算KL散度求平均，本質上來講，指標還是通過信息增益來評價。為了便于計算，添加指數(shù)，最終的IS定義成如下形式：

實際計算IS時，使用的計算式子為：

對于p(y)的經驗分布，使用生成模型產生N個樣本，將N個樣本送入分類器得到N個標簽向量，對其求均值且令

對于KL散度，計算方式如下：?

2.2 IS的缺陷

IS作為GAN的評價指標，自2016年提出以來，已經具備了比較廣泛的接受程度，但也有一些不可忽略的問題和缺陷。（1）當GAN發(fā)生過擬合時，生成器只“記住了”訓練集的樣本，泛化性能差，但是IS無法檢測到這個問題，由于樣本質量和多樣性都比較好，IS仍然會很高。（2）由于Inception Net-V3是在ImageNet上訓練得到的，故IS會偏愛ImageNet中的物體類別，而不是注重真實性。GAN生成的圖片無論如何逼真，只要它的類別不存在于ImageNet中，IS也會比較低。（3）若GAN生成類別的多樣性足夠，但是類內發(fā)生模式崩潰問題，IS無法探測。（4）IS只考慮生成器的分布pg而忽略數(shù)據(jù)集的分布pdata。（5）IS是一種偽度量。（6）IS的高低會受到圖像像素的影響。以上這些問題限制了IS的推廣，接下來我們列出幾種IS的改進版本。

2.3 Mode Score

MS(Mode Score)是IS的改進版本，考慮了訓練數(shù)據(jù)集的標簽信息，其定義為：

其中，p*(y)表示經過訓練數(shù)據(jù)集的樣本得到的標簽向量的類別概率，p(y )表示經過GAN生成樣本得到的標簽向量的類別概率。MS關注的還是樣本質量與種類多樣性的問題，可以證明其與IS是等價的。

2.4?Modifified Inception Score

m-IS(Modifified Inception Score)重點關注了類內模式崩潰的問題，例如使用ImageNet訓練好的GAN可以均勻生成1000類圖像，但是在每一類中，只能產生一種圖像，也就是生成的蘋果圖像永遠張一個樣子，但是GAN的生成質量和類別多樣性是完全沒有問題的。m-IS對于同一類樣本的標簽計算了交叉熵：

其中xi,xj均為同一類別的樣本，其類別由Inception Net-V3的輸出結果決定。將類內交叉熵考慮進IS可得m-IS，即

可以看出，m-IS評價的是GAN的生成質量和類內多樣性。當m-IS分數(shù)越大時，GAN生成性能越好。

2.5?AM Score

AMS（AM Score）的考慮是：IS假設類別標簽具有均勻性，在1000類圖像中，生成模型GAN生成每一類的概率是大致相等的，故可使用y相對于類別的熵來量化該項，但當訓練數(shù)據(jù)在類別分布中不均勻時，IS評價指標是不合理的，更為合理的選擇是計算訓練數(shù)據(jù)集的類別標簽分布與生成數(shù)據(jù)集的類別標簽分布的KL散度，即

其中，p*(y)表示經過訓練數(shù)據(jù)集的樣本得到的標簽向量的類別概率，p(y )表示經過GAN生成樣本得到的標簽向量的類別概率，關于樣本質量的一項保持不變，則AMS的表達式為：

顯然，當AMS分數(shù)越小時，GAN生成性能越好。

在所有IS系列的評價指標中，務必要保持一致性。也就是說，若使用ImageNet訓練GAN，那么評價GAN所需要的分類器（如Inception V3）也必須是在ImageNet上訓練的，否則無效。

3.?FID

FID（Fréchet Inception Distance）是一種評價GAN的指標，于2017年提出，它的想法是這樣的：分別把生成器生成的樣本和判別器生成的樣本送到分類器中（例如Inception Net-V3或者其他CNN等），抽取分類器的中間層的抽象特征，并假設該抽象特征符合多元高斯分布，估計生成樣本高斯分布的均值μg和方差Σg，以及訓練樣本的均值μdata和方差Σdata?，計算兩個高斯分布的弗雷歇距離，此距離值即FID:

最后將FID作為評價指標。示意圖如下，其中虛線部分表示中間層

FID的數(shù)值越小，表示兩個高斯分布越接近，GAN的性能越好。實踐中發(fā)現(xiàn)，FID對噪聲具有比較好的魯棒性，能夠對生成圖像的質量有比較好的評價，其給出的分數(shù)與人類的視覺判斷比較一致，并且FID的計算復雜度并不高，雖然FID只考慮了的樣本的一階矩和二階矩，但整體而言，FID還是比較有效的，其理論上的不足之處在于：高斯分布的簡化假設在實際中并不成立。

4. MMD

MMD（Maximum Mean Discrepancy）在遷移學習中具有非常廣泛的應用，它是在希爾伯特空間中對兩個分布的差異的一種度量，故可以考慮使用MMD度量訓練數(shù)據(jù)集分布 pdata和生成數(shù)據(jù)集分布pg的距離，然后使用這個距離作為GAN的評價指標。若MMD距離越小，則表示pdata和pg越接近，GAN的性能越好。

計算MMD時，首先選擇一個核函數(shù)K(x,y) ，它將兩個樣本映射為一個實數(shù)，例如多項式核函數(shù)：

高斯核函數(shù)?：

則MMD距離為：

不過實際計算時，我們不可能遍歷所有樣本求期望，而需要使用批量樣本估計MMD值，對于來自于訓練樣本集的n個樣本x1,x2,...,xn和來自于生成器生成的n個樣本y1,y2,...,yn，MMD的估算值為：

由于MMD是使用樣本估計的，即使pdata和pg完全相同，估算得到MMD也未必等于零。MMD在評價GAN時表現(xiàn)還是比較好的，并且計算復雜度也不高。

5.?Wasserstein Distance

Wasserstein距離又稱earth-mover距離、推土機距離，與MMD類似，它也是兩個分布的差異的一種度量，故也可以作為GAN的評價指標。若Wasserstein距離越小，則表示pdata和pg越接近，GAN的性能越好。在性能優(yōu)越的WGAN中，便是先通過判別器（critic）學習兩個分布的Wasserstein距離，再以最小化Wasserstein距離為目標函數(shù)來訓練生成器的。

當把Wasserstein距離作為評價指標時，需要先有一個已經訓練好的判別器D(x)，對于來自于訓練樣本集的n個樣本x1,x2,...,xn和來自于生成器生成的n個樣本y1,y2,...,yn，Wasserstein距離的估算值為：

這個評價指標可以探測到生成樣本的簡單記憶情況和模式崩潰情況。不過需要注意，由于使用Wasserstein距離作為評價指標需要依賴判別器和訓練數(shù)據(jù)集，故它只能評價使用特定訓練集訓練的GAN，例如對使用蘋果圖像訓練集訓練得到判別（critic），它無法評價橘子圖像生成器的性能，故也具有一定的局限性，這與MMD有著明顯區(qū)別，MMD不需要通過神經網(wǎng)絡學習分布間的距離，擁有更大的自由。

6.?1-Nearest Neighbor Classifier

1-Nearest Neighbor Classifier的基本想法是，希望計算判定出pdata和pg是否相等，若相等則證明生成模型GAN是優(yōu)秀的，若差距比較大則說明GAN是比較差的。做法如下，對于來自于訓練樣本集概率分布pdata的n個樣本x1,x2,...,xn和來自于生成器概率分布pg的n個樣本y1,y2,...,yn，計算使用1-NN的LOO（leave-one-out）的準確率，并使用準確率作為評價指標。

具體地說，將x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn以及它們對應的標簽組合成新的樣本集合D，D里共包括2n個樣本，使用留一交叉驗證的方法，將D中的樣本分成兩份D1和D2，D1有2n-1個樣本， D2只有一個樣本，使用D1訓練1-NN二分類器，在D2中進行驗證計算正確率（0%或100%）。每次D2選擇不同的樣本，將上述過程循環(huán)2n次，計算總體的分類正確率，并將總體正確率作為GAN的評價指標。

如果x1,x2,...,xn和y1,y2,...,y來自于同一概率分布（即pdata等于pg），且樣本數(shù)量比較大，則1-NN分類器無法將其很好的分開，其結果接近于隨機猜測，總正確率接近50%，如下圖所示：

當GAN發(fā)生簡單記憶的問題，即生成器生成的樣本與訓練樣本完全一樣，則任意測試樣本在1-NN上的正確率都為0%，因為存在一個與測試樣本距離為0的樣本，但兩者的類別標簽相反，故總體正確率為0%，如下圖所示：

極端的情況，當生成器生成樣本與訓練集樣本差異很大時，即GAN生成效果很不好時，任意測試樣本在1-NN上的正確率都為100%，因為1-NN完全可以進行準確的分類，則整體準確率也為100%，如下圖所示：

當1-Nearest Neighbor Classifier的總正確率接近50%時，說明生成器的性能越好。另外說明，這里選擇1-NN作為二分類器的原因是，1-NN結構簡單，計算方便且不含任何超參數(shù)。

7.?GANtrain and GANtest

在GANtrain和GANtest中，并沒有設計給出可量化的評價指標，而是計算幾個指標并進行對比分析，從而評價GAN的性能，這里評價的是可生成多類別樣本的GAN。

定義訓練樣本集St，驗證集Sv以及由GAN生成的樣本集 Sg，接下來（1）在訓練集St上訓練分類器并在驗證集Sv上計算準確率，將準確率記為GANbase。（2）在生成集Sg上訓練分類器并在驗證集Sv上計算準確率，將準確率記為GANtrain。（3）在訓練集St上訓練分類器并在生成集Sg上計算準確率，將準確率記為GANtest。

比較GANbase和GANtrain，當GAN存在問題時，GANtrain要小于GANbase，可能因為生成集Sg相比訓練集St發(fā)生了模式丟失，或者生成樣本不足夠真實讓分類器學到相關特征，或者GAN沒有將類別分得很開，產生類別混合等，原因可能有很多。當GANtrain與GANbase接近時，說明GAN生成圖像質量高，和訓練集有相似的多樣性。

比較GANbase和GANtest，理想情況下，兩者數(shù)值應該接近。如果GANtest非常高，那么說明GAN過擬合，發(fā)生簡單記憶的問題。如果GANtest很低，則說明GAN沒有很好的數(shù)據(jù)集分布，圖像質量不高。GAN-test準確率大致衡量了生成圖像和數(shù)據(jù)流形的距離的遠近。

8. NRDS

NRDS（Normalized Relative Discriminative Score）可以用于多個GAN模型的比較，其基本的想法是：實踐中，對于訓練數(shù)據(jù)集和GAN生成器生成的樣本集，只要使用足夠多的epoch，總可以訓練得到一個分類器C，可以將兩類樣本完全分開，使得對訓練數(shù)據(jù)集的樣本，分類器輸出趨于1，對GAN生成的樣本，分類器輸出趨于0。但是，若兩類樣本的概率分布比較接近（即GAN生成效果比較好），則需要更多次數(shù)的epcoh才能將兩類樣本完全區(qū)分開；反之，對于較差的GAN生成效果，不需要訓練分類器C多少次epoch，就可將兩類樣本完全分開。

如上圖所示，在每個epoch中，對于n個GAN，分別從其中采樣得到n批生成樣本（虛假樣本），將其與訓練集樣本（真實樣本）以及對應的標簽一起送入分類器C，然后使用分類器分別在n批虛假樣本上測試，記錄n個分類器的輸出結果output（結果應為批次的平均值）。訓練足夠多的epoch次數(shù)，使分類器對真實樣本輸出幾乎為1，對虛假樣本輸出幾乎為0，這時對n個GAN，做n條epoch-output曲線，分別記為Ci，估算曲線下圍成的區(qū)域的面積，分別記為A(Ci)，如下圖陰影部分

最后分別計算NRDS：

則NRDS的值越大，說明將兩個分布完全分開的“損耗”越大，則表明對應的GAN的pg更接近pdata。??

9.?Image Quality Measures

在該類評價指標中，我們直接對圖像本身的質量進行量化，而不像IS借助Inception V3或訓練其他神經網(wǎng)絡等手段，這里已經提出不少相關指標，典型代表有SSIM, PSNR和Sharpness Difference。

9.1 Structural SIMilarity

SSIM（Structural SIMilarity）是對兩個圖像樣本x和y之間的亮度l(x,y)、對比度c(x,y) 、結構s(x,y)三個方面進行比較衡量，可理解為一個描述了兩幅圖像相似度的評價指標，其中亮度為：

對比度為：

結構為：

其中，μx，μy，σx，σy，σxy分別為x,y的局部均值、方差和協(xié)方差。而C1,C2,C3是為了避免除數(shù)為0而取的常數(shù)，一般地，可取

計算整幅圖像的SSIM值可計算每個圖像塊的SSIM求平均。SSIM具有對稱性，當兩個圖像完全相同時，SSIM值達到最大值1。

9.2 Peak Signal-to-Noise Ratio

PSNR（Peak Signal-to-Noise Ratio）即峰值信噪比，也用于評價圖像質量，例如可在條件GAN中，可將某類別中訓練集里的圖像與條件生成的圖像進行對比評價，從而評價條件GAN的生成效果。

例如對兩幅圖像I和K ，計算其均方誤差：

然后計算峰值信噪比為：

其中，MAX為圖片可能的最大像素值，例如灰度圖像中為255。若為彩色圖像，可計算RGB三通道的PSNR然后取均值；或計算三通道MSE并除以3，再計算PSNR。顯然，PSNR值越大，說明兩張圖像差別越小，則生成的圖像的質量越好。

9.3 Sharpness Difference

SD（Sharpness Difference）與PSNR計算方式類似，但其更關注銳度信息的差異。例如對兩幅圖像I和K ，計算其銳度差異：

其中，

然后計算SD為：?

其中，MAX為圖片可能的最大像素值，與上述相同。顯然，SD值越大，說明兩張圖像銳度差別越小，則生成的圖像的質量越好。

10.?Average Log-likelihood

之前提到的方法，我們都將生成器視為一個產生樣本的黑盒子，并沒有直接與去概率密度函數(shù)pg打交道，這也是由于GAN的隱式概率模型的設計機制決定的。但如果能有一個pg的表達式，最直接的評價指標應當是：計算訓練集的樣本在pg下的對數(shù)似然函數(shù)（也可認為是計算KL散度，兩者等價），對數(shù)似然函數(shù)越大則說明生成器越好，如下

這里的問題在于，如何得到pg的表達式或者近似表達式？一種方法是使用非參數(shù)估計的，例如使用KDE（Kernel Density Estimation）方法，對于樣本x1,x2,...,xn，估計得到的概率密度函數(shù)p*為：

Z為歸一化常數(shù)，其中核函數(shù)可定義為高斯核函數(shù)、均勻核函數(shù)、三角核函數(shù)等，自由選取。得到近似的概率密度函數(shù)后，便可計算對數(shù)似然，并使用其作為評價指標。

但是根據(jù)實際情況，其評價效果并不理想，主要有如下問題：面臨高維分布，非參數(shù)難以得到比較準確的概率密度函數(shù)的估計，另外對數(shù)似然函數(shù)與樣本的質量并不存在明顯的相關關系，有些不好的GAN可以給出很高的對數(shù)似然值但樣本質量依舊很差。

在這篇中，我們展示了五花八門的GAN評價指標，實際上還有更多，我們僅僅展示了一部分。根據(jù)實驗的比較結果，并沒有存在哪一個評價指標在各方面都可以完勝其他評價指標，也不存在哪一個指標可以在第一篇文章中提出的7個要求中都得到很好的滿足，但是也確實存在部分指標的整體質量完全超越另一個的情況。故在選擇GAN的評價指標時，應根據(jù)實際場景要求選擇指標，或者組合選擇幾個指標從不同角度考察GAN的生成效果。

[1]Bissoto A , Valle E , Avila S . The Six Fronts of the Generative Adversarial Networks[J]. 2019.

[2]Borji A . Pros and cons of GAN evaluation measures[J]. Computer Vision and Image Understanding, 2018.

[3]A Note on the Evaluation of Generative Models.2016

總結

這一篇講解了GAN的評價指標應該滿足的要求，并重點講解了IS的計算方式以及IS的其他改進，FID，MMD和Wasserstein， Distance1-Nearest Neighbor Classifier，GANtrain和GANtest，NRDS，SSIM，PSNR，SD，對數(shù)似然評價指標等，并在最后對GAN的評價指標做了簡單的評述。

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