【定義】
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在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數f 與g經過翻轉和平移的重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分。
如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

• 卷積內涵

簡單定義：卷積是分析數學中一種重要的運算。
設:f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數，作積分：

可以證明，關于幾乎所有的實數x，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f與g的卷積，記為h(x)=(fg)(x)。
容易驗證，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
卷積與傅里葉變換有著密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函數fg一般要比f和g都光滑。特別當g為具有緊致集的光滑函數，f為局部可積時，它們的卷積f * g也是光滑函數。利用這一性質，對于任意的可積函數f，都可以簡單地構造出一列逼近于f的光滑函數列fs，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。
【理解卷積】
理解卷積
這里提供兩個理解卷積的角度：

• 從函數（或者說映射、變換）的角度理解。

卷積過程是在圖像每個位置進行線性變換映射成新值的過程，將卷積核看成權重，若拉成向量記為w，圖像對應位置的像素拉成向量記為x，則該位置卷積結果為y=w′x+b，即向量內積+偏置，將x變換為y。從這個角度看，多層卷積是在進行逐層映射，整體構成一個復雜函數，訓練過程是在學習每個局部映射所需的權重，訓練過程可以看成是函數擬合的過程。

• 從模版匹配的角度理解。

前面我們已經知道，卷積與相關在計算上可以等價，相關運算常用模板匹配，即認為卷積核定義了某種模式，卷積（相關）運算是在計算每個位置與該模式的相似程度，或者說每個位置具有該模式的分量有多少，當前位置與該模式越像，響應越強。下圖為圖像層面的模板匹配（圖片來自鏈接），右圖為響應圖，可見狗頭位置的響應最大。當然，也可以在特征層面進行模版匹配，卷積神經網絡中的隱藏層即可以看成是在特征層面進行模板匹配。這時，響應圖中每個元素代表的是當前位置與該模式的相似程度，單看響應圖其實看不出什么，可以想像每個位置都有個“狗頭”，越亮的地方越像“狗頭”，若給定模板甚至可以通過反卷積的方式將圖像復原出來。這里多說一句，我們真的是想把圖像復原出來嗎，我們希望的是在圖像中找到需要的模式，若是通過一個非線性函數，將響應圖中完全不像“狗頭”的地方清零，而將像“狗頭”的地方保留，然后再將圖像復原，發現復原圖中只有一個“狗頭”，這是不是更美好——因為我們明確了圖像中的模式，而減少了其他信息的干擾！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Deep learning：卷积神经网络之卷积计算、作用与思想的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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