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TravorLZH：這一切都從指數函數開始（1）——歐拉公式

TravorLZH：這一切都從指數函數開始（2）——Fourier級數和變換

TravorLZH：這一切都從指數函數開始（3）——泊松求和公式

信號處理領域中有一個基本的定理——采樣定理。這個定理在最早提出時還順便提供了一個副產品：Whittaker—Shannon插值公式，本篇文章作者將以循序漸進的方式推導出采樣定理。

1、采樣定理

設一個函數f(t)的Fourier變換

滿足如下條件：當 或者是 時 恒等于零

我們可以通過對

做Fourier逆變換的方式來得到原來的f(t)：

應用上面我們對頻域

的限制，我們可以安全地把積分上下限從(-∞,+∞)改成[-B,B]因為該區間外 恒為零。于是：

此時我們若令

，則有：

等式兩側再除以2B，得：

此時我們設T=2B，可以發現：

再令

，得到

現在我們再利用一下我之前得到關于Fourier級數的結論：

對于 ，有

則可以發現

可以表示為：

意思就是說我們可以用函數無窮個等距的點來換元其頻域，其中點的間距為

，因為頻域確定后時域也能夠通過逆變換的方法確認，所以我們得到如下定理：If a function contains no frequencies higher than B hertz, it is completely determined by giving its ordinates at a series of points spaced seconds apart.^[1]
如果一個函數f(t)的頻率不超過B赫茲，則f(t)可以被一系列間距為 秒的采樣點確定。

2、插值公式

現在我們已經證明了采樣定理，現在我們可以再進一步研究這個等式：

現在我們對兩側進行Fourier逆變換：

根據控制收斂定理（Dominated convergence theorem），我們可以交換求和與積分符號。又根據上面對頻域的限制條件，即

，積分的上下限可以變成[-T/2,T/2]（即[-B,B]）。于是：

接下來我們解一下右側剩下的積分

根據積分法則

我們可以得到

根據歐拉公式，我們有

，所以

我們最后再把積分的結果代入回原來的等式，得：

我們知道sinc函數的定義

，所以可以把它代入原式：

現在令n=-k，M=1/T，得到：

此時根據T=2B，我們知道M=1/2B表示采樣點間隔秒數，所以可以將f(Mn)寫成f的第n個采樣點f[n]，于是：

我們重新得到了大名鼎鼎的惠特克—香農插值公式（Whittaker—Shannon interpolation formula）。

通過我們推導出的采樣定理，我們也得知了一個新概念——混疊（Aliasing）。

3、混疊效應

如果我們嘗試對一個不滿足采樣定理條件的函數進行插值，則會出現混疊。這里我們可以用Python來演示：

首先我們定義要被插值的函數：

def

接下來我們對其進行采樣

interval

現在再利用插值公式還原信號：

def

最后我們在用numpy和matplotlib把原本的函數與插值公式恢復的信號進行對比：

import

最后我們生成了這幅圖，其中左側是原來的函數，右側是根據紅色采樣點恢復的結果：

M=2時出現了混疊

當我們對原信號

進行Fourier變換時，得到：

而采樣點的間距通過

我們可以得到B=1/4，然而我們發現 在 時不恒為0（ 取 和 時 為+∞），所以就出現了混疊效應。

然而當我們讓B=1時（即M=1/2時），卻發現插值公式可以還原原來的函數：

M=0.5時插值公式能夠復原原來的信號

4、總結

采樣定理不僅本身非常的迷人，它的來源也非常的奇妙。為了證明采樣定理，我們利用了Fourier變換；為了得出Fourier變換，我們拓展了Fourier級數；為了推導Fourier級數，我們運用了歐拉公式；為了推導歐拉公式，我們利用了指數函數的微分性質……可見這一切都從指數函數開始。

參考

^https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

總結

以上是生活随笔為你收集整理的香农定理和奈奎斯特定理区别_这一切都从指数函数开始（4）——采样定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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