c++ 多重背包状态转移方程_串讲：控制理论：全状态反馈控制（FSFB）
全狀態(tài)反饋控制也可以被稱作狀態(tài)反饋控制，它是現(xiàn)代控制理論的一種控制方法，私信中部分小伙伴問道極點配置還有狀態(tài)反饋是怎么回事，這里就寫一篇文章來解決上述問題。介紹全狀態(tài)反饋控制（FSFB）之前，根據(jù)自己的理解并結合參考文獻來介紹一下科學家們?yōu)槭裁匆O計FSFB來構造閉環(huán)控制，如有不對的地方歡迎糾正！
全狀態(tài)反饋控制（FSFB）構造的意義
首先，線性系統(tǒng)的被控對象狀態(tài)方程如下所示：
（1）給一個結論：在第一個式子中，第一項
代表線性系統(tǒng)的動態(tài)特性，系統(tǒng)中的能量如何被存儲及被轉移取決于矩陣 ，第二項 表示系統(tǒng)如何根據(jù)輸入量進行響應。因此當有了輸入量后，學者們更關心的問題是如何提高系統(tǒng)的動態(tài)特性（也就是說如何快速的轉移系統(tǒng)中的能量）。
那么證明一下結論中第一項
為什么可以代表系統(tǒng)的動態(tài)特性？證明如下：
利用Laplace對Eq. (1)進行變換：
（2）假設矩陣
為零矩陣，傳遞函數(shù)如下： （3）當滿足下式時，系統(tǒng)的極點（Pole）可以被求出。
（4）然而矩陣
特征根（Eigenvalues）求得方法如下： （5）對比Eqs.(4-5)，不難發(fā)現(xiàn)，原來矩陣A特征根就是系統(tǒng)的極點！如果知道了系統(tǒng)的極點，就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，和收斂趨近狀態(tài)及速度。
當系統(tǒng)的極點在s域中的位置如下所示，系統(tǒng)的狀態(tài)變量變化形態(tài)可以從圖中看出。
圖參考油管中的視頻，鏈接如下所示：因此可以看出系統(tǒng)狀態(tài)方程中的第一項
代表系統(tǒng)的動態(tài)特性，且矩陣 特征根為系統(tǒng)的極點，極點的位置可以反映出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果極點足夠遠，可以快速使系統(tǒng)收斂，但是能量也越大，且抗干擾能量下降。全狀態(tài)反饋控制（FSFB）
因此合理的配置極點可以使系統(tǒng)達到我們想要的結果，這里就需要引入FSFB，有了這個控制器，問題就迎刃而解了，我們可以通過FSFB這種方法來任意改變系統(tǒng)的極點位置。
FSFB有幾種結構，三種結構如下所示：
圖參考油管中的視頻三種方法都含有參考量
和參數(shù) ，為了便于理解，這里介紹一種比例參考型的FSFB：根據(jù)上圖中的結構，可以看出這種控制方式非常的簡單，FSFB系統(tǒng)的控制率可以表示為如下所示：
（6）通過代入Eq.（1）于Eq. (6)，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為如下：
（7)因此可以看出系統(tǒng)的極點發(fā)生了改變，從A的特征根變?yōu)榱司仃?
的特征根，而矩陣 可以通過人為的設計參數(shù)進行調整，因此可以達到理想的系統(tǒng)控制需求。問題：那么如何調整系統(tǒng)的極點來滿足系統(tǒng)的需求，或者是使系統(tǒng)達到最優(yōu)的性能呢？
答：可以采用以下兩種方法，即利用極點配置（Pole placement，本文重點介紹）的方法來獲取參數(shù)K，或者可以利用線性二次型LQR（這里的LQR結合FSFB也是LQR最優(yōu)控制的一種，在專欄中另一篇文章中講述）來獲取參數(shù)
。極點配置：本質是放置這些極點到系統(tǒng)中想要的（理想的）位置來提高系統(tǒng)動態(tài)響應性能。
特別注意是的極點配置優(yōu)于根軌跡方法，根軌跡是改變參數(shù)來改變極點沿著根軌跡的位置，不能夠任意擺放極點位置；然而極點配置可以通過改變矩陣的參數(shù)來任意的改變改變極點的位置，因此配置起來更加地靈活。
這里我列舉一個極點配置的例子來獲取參數(shù)
：極點配置的例子及Matlab仿真分析：
系統(tǒng)狀態(tài)和輸出方程如下所示：
（8） （9）Eqs. (8-9)的矩陣對應于Eq. (1)中的矩陣ABCD，因次根據(jù)Eq. (5),矩陣A的特征根為-2,1，其中1為正實數(shù)，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。
利用極點配置,令矩陣
的參數(shù)為[k1,k2]，則矩陣 可以表示如下： （10）根據(jù)Eq. (5),可以得到如下所示：
（11）假設我們期望的極點分別為-2，-1,通過上述公式，可以獲取矩陣
的參數(shù)為[2,1]。Matlab源代碼如下所示：
clcA=[0 1;2 -1]; B=[1;0]; C=[1 0]; D=0;sys=ss(A,B,C,D);%原狀態(tài)方程 E=eig(A);%原系統(tǒng)的特征根 P=[-2 -1]; %理想的特征根 K=place(A,B,P);%極點配置獲取參考KAc=A-B*K;%FSFB矩陣 Ec=eig(Ac);%FSFB系統(tǒng)的特征根 kr=2;%參數(shù)kr sysc=ss(Ac,B*kr,C,D);%新狀態(tài)方程 step(sysc);%給定輸入信號為階躍信號當輸入為階躍信號，觀察系統(tǒng)的響應為：
改變系統(tǒng)的帶寬可以根據(jù)調節(jié)系統(tǒng)的極點來提高。
FSFB的缺陷
在上述形式的FSFB中，改變參數(shù)
可以提高系統(tǒng)的幅值使系統(tǒng)的輸出和系統(tǒng)參考值保持一致，然而參數(shù) 會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，詳細推導如下：根據(jù)比例參考型的FSFB結構，定義誤差
： （12）假設矩陣
為零矩陣，根據(jù)傳遞函數(shù)Eq. (3)和Eq. (6)，可以獲得誤差方程如下： （13）利用終值定理，可以得到：
（14）因此比例參考型的FSFB的穩(wěn)態(tài)誤差為：
（15）當輸入信號為階躍信號時（
）,Eq.(15)可以變換為： （16）代入Eq.(3)于傳遞函數(shù)Eq. (16)中，得：
（17）從式中可以看出，基于這種方法的FSFB系統(tǒng)算法簡單且動態(tài)響應特性可控，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，提高參數(shù)
會導致穩(wěn)態(tài)誤差進一步增大，為了解決這一問題，可以采用積分形式的FSFB（推導與上述推導類似，這里不做推導）。參考資料包括以下內(nèi)容，歡迎交流討論：
https://en.wikipedia.org/wiki/Final_value_theorem?en.wikipedia.orghttps://www.youtube.com/watch?v=wEevt2a4SKI?www.youtube.comhttps://www.youtube.com/watch?v=wEevt2a4SKI?www.youtube.comhttps://www.youtube.com/watch?v=FXSpHy8LvmY?www.youtube.com總結
以上是生活随笔為你收集整理的c++ 多重背包状态转移方程_串讲：控制理论：全状态反馈控制（FSFB）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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