数据结构 非线性结构 树 介绍及存储方法
?????????? 所謂樹, 其實跟鏈表有類似的地方,? 就是都是由節點和指針構成的數據結構.
?????????? 在鏈表中,? 每1個節點(尾節點除外)只有1個指針指向下1個節點. 所以鏈表各個節點可以由一條線鏈接起來, 就是一種線性結構.
?????????? 而在樹中, 每1個節點可以有1個或多個指針指向下1個節點,? 如下圖:
????????????? 所以樹是一種非線性結構, 對于這種結構, 有很多算法都要依賴遞歸來實現, 否則就相當復雜, 所以很多教程都把遞歸作為1個專題放在樹這章之前講解, 就是這個原因.
????????????? 其實樹也可以利用連續存儲來實現， 也就是說節點不需具有指向別的節點的指針， 但是這種樹必須是完全二叉樹。 下面會詳細提到。
1. 樹的定義
???????? 樹的定義有兩種, 一種是專業的定義, 跟遞歸有關.
???????? 專業定義:
???????????????? 1. 只有1個稱為根的節點.
???????????????? 2. 有若干個互不相交的子樹, 這些子樹本身也是樹.
???????????????? 解析下,子樹本身也是樹, 就如上上圖的樹A, 根就是是A了, 它具有2個子樹, 分別是B1 和 B2, 而B1和B2也是1棵樹啊, 所以, 這個定義跟遞歸有關.
?????????? 通俗定義:
???????????????? 1. 樹是有節點和邊組成.(為什么不用指針這個字眼,用邊?因為樹是可以利用連續存儲來實現的，下面會提到)
???????????????? 2. 每1個節點只有1個父節點, 但是可以有多個子節點.
???????????????? 3. 但是有1個節點例外, 該節點沒有父節點, 此節點就是根節點.
2. 樹的一些專業術語.
??????????? 節點:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 構成樹的元素, 通常節點里會包含指向其他節點的指針.? 在C語言中, 節點通常是由結構體來表示的.
???????????? 父節點:
??????????????????? 節點的上1級節點,? 通常1個節點有且只有1個父節點, 根節點例外, 根節點沒有父節點.
???????????? 子節點:
??????????????????? 節點的下一級節點, 1個節點可以有1個或多個子節點, 也可以沒有子節點.
????????????? 子孫:
??????????????????? 1個節點的子節點或者子節點的子節點....,等所有下級節點都可以成為這個節點的子孫,? 1棵樹的所有節點都是根節點的子孫.?? 上圖C2 是B1的子孫, 但不是B2的子孫.
????????????? 兄弟:
??????????????????? 擁有同1個父節點的若干個節點成為兄弟, 上圖B1 就是 B2的兄弟
????????????? 堂兄弟:
???????????????????? 不屬于同1個父節點, 但是它們的父節點屬與同1個父節點的若干個節點就是堂兄弟. 上圖C1 就是 C3的堂兄弟.
????????????? 深度:
???????????????????? 1棵樹從根節點到最底層節點的層數稱之為深度.?? 根節點是第1層.
?????????????? 葉子節點:
????????????????????? 沒有子節點的節點, 因為葉子不同于樹干, 不能再分叉了.? 當1個棵樹只有1個節點, 那么這個節點是根節點. 也是葉子節點.
?????????????? 非終端節點:
?????????????????????? 實際就是非葉子節點,? 就是具有子節點的節點.
??????????????? 度:
??????????????????????? 1個節點的子節點個數成為這個節點的度
??????????????????????? 1個樹中擁有最大度的節點的度就是這個樹的度.
???????????????
? ? ? ? ? ? ?? 森林:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n個互不相交的樹的集合, 成為森林. ????????
3. 樹的分類
??????????????? 一般的樹:
????????????????????????? 任意1個節點的子節點的個數都不受限制的樹.
??????????????? 二叉樹: (binary tree)
?????????????????????????? 任意1個節點的個數最多有連個, 且子節點的位置不能被更改, 這種樹就是二叉樹.
?
??????????????????????????? 第一句容易理解, 關鍵是第二句, 子節點的位置不能更改??? 其實意思就是二叉樹是有序的, 它的節點最多只有2個子節點, 分別是左子節點和右子節點,? 它們的順序不能被更改. 也不能更改節點的父子點(移動子樹),我們稱為這種樹是有序的樹
??????????????????????????? 一般的樹沒有這種要求, 可以是有序的樹, 也可以是無序的樹(子節點位置可更改),??? 但是2叉樹必須是有序的樹.
??????????????
???????????????????????????? 二叉樹還有分類
???????????????
???????????????????????????滿二叉樹: (full binary tree)
????????????????????????????????????? 在不增加層數的情況下,? 無法再多添加1個節點的二叉樹, 就是滿二叉樹. 例如上圖那個樹就是非滿2叉樹, 因為還可以添加1個C4節點在B2節點下.
????????????????????????
??????????????????????????????????????? 添加了C4節點后, 就是1個滿二叉樹, 如下圖:
???????????????????????????????????????? 假如1個滿二叉樹的層數是k, 那么它的節點個數必定是 (2^k-1).
???????????????????????????????????????? 這里順便貼個等比數列求和的推導公式:
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q) （2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) （3）Sn-q*Sn=a1-a(n+1) （4）(1-q)Sn=a1-a1*q^n （5）Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) （6）Sn=(a1-an*q)/(1-q) （7）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
????????????????????? 完全二叉樹: (Complete binary tree)
???????????????????????????????? 完全二叉樹就厲害了，之前提到滿二叉樹的目的就是為了引出完全二叉樹. 滿二叉樹是完全二叉樹的一種。
???????????????????????????????? 若設二叉樹的深度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第 h 層所有的結點都連續集中在最左邊，這就是完全二叉樹。
???????????????????????????????? 又有1個通俗定義： 當1棵層數為k滿二叉樹, 從它的最底層的最右邊的節點開始,連續向左刪除n個節點(2k >= n >= 0), 得到的樹就是1棵完全二叉樹.
???????????????????????????????? 如下圖， 左邊兩個是完全二叉樹， 而右邊那個不是，因為最下層的節點不是向右連續的啊！
??????????????????????????? 這里補充一點：完全二叉樹是效率很高的數據結構，堆是一種完全二叉樹，所以效率極高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能優化，幾乎每次都要考到的二叉排序樹的效率也要借助平衡性來提高，而平衡性基于完全二叉樹。
??????????????????????????? 這里為什么要特別提到完全二叉樹呢？? 因為完全二叉樹是一種重要的數據結構， 跟棧，對列一樣， 二叉樹也可以用鏈式和數組內核來實現， 但是因為數組必須是連續存儲的， 所以數組實現的二叉樹必須是完全二叉樹。
??????????????????????????? 完全二叉樹的性質：
?????????????????????????????????? 1. 如果知道完全二叉樹的節點個數， 就必然可以退出完全二叉樹的形狀（包括層數， 最后一層的節點排布）。? 也就是說兩個節點樹相同的完全二叉樹的形狀是一樣的。
?????????????????????????????????? 2. 根據第1個性質， 只需要知道1個確定節點個數的完全二叉樹的節點編號， 就可以推出這個節點的父節點和字節點！ 這個是1個非常重要的優點！
???????????????????????????
3. 樹的存儲(內存)
????? ??? 3.1 二叉樹的存儲：
??????????????? 3.1.1. 連續存儲 ：
?????????????????????? 上面提過了， 要利用連續存儲(數組）來實現的二叉樹必須是完全二叉樹， 因為它們的節點必須是連續的啊！ 如果要利用連續存儲來存儲普通的二叉樹， 就必須把這個二叉樹轉化為完全二叉樹。
?????????????????????? 關鍵是如何轉化？ 很簡單， 就是添加必要的空節點把1個非完全二叉樹補成1個完全二叉樹， 如下圖：
????????????????????? 藍色的樹就是1個普通的2叉樹，? 白色的節點就是必要的不存放實際數據的節點， 添加上去組成1個完全二叉樹， 就可以利用連續存儲了。
????????????????????? 至于要轉成完全二叉樹的原因：
????????????????????? 假如只按一定的順序只存儲有效的節點，? 內存物理上是1個線性結構， 如果把非線性的樹存放在線性的內存中，存放后就變成線性結構了，例如上圖中的藍色樹在內存里存放: A,B1,C1,C2,D3,D4? 的確是能存放， 但是不能將存放的數據還原成原來的樹啊！ 所以就必須添加一些無效的節點令它轉化成1個完全二叉樹！
????????????????????? 缺點：
??????????????????????? 其實也可以看出， 如過利用連續存儲來存放普通的二叉樹， 首先需要一定量的連續內存空間，而且必然會造成1些空間浪費。 而且普通二叉樹的層數越大， 耗費的內存越大！
??????????????????? ? 優點：
??????????????????????? 就是上面完全二叉樹的第2個性質，? 只需要知道1個節點在數組的位置， 就可以推出它的父節點和子節點， 時間復雜度是0啊！
????????????? 3.1.2. 鏈式存儲 ：
???????????????????? 這個跟鏈表有點類似。
???????????????????? 我們會把每1個節點分成4個域， 分別是數據域， 父節點指針域， 左子節點指針域， 右字節域指針域。（或者不包含父節點指針域，則只有3個域）
???????????????????? 如下圖：
???????????????????? 可以見到，這種存儲方式浪費的空間很少， 無非就是一些子節點的空指針， 但是這些空指針個數仍是線性增長的， 但是我們認為浪費的空間已經很少啦， 比起連續存儲來講， 因為鏈式存儲不需存儲多余的節點啊。
????????????????????
??????????????????
????????
????? 3.2 一般樹的存儲：
????????????? 一般樹的特點是節點的度（子節點個數）無限制， 用上面連續存儲根本沒可能， 如果用鏈式存儲也很困難， 因為無法決定子節點的子節點指針域的個數啊！
??????????? 3.2.1 雙親表示法(數組)：
??????????????????? 雙親表示法實際上也是利用連續存儲的， 只不過數組內的元素必須分為兩個域， 1個是數據域， 另1個是父節點的下標（注意不是指針啊）. 根節點的父節點下標是·-1.
??????????????????? 雙親表示法對于元素（節點）在數組內的順序無要求。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如下圖：
???????????????? 如上圖右邊的數組， 基本上可以把1棵樹的結構表示出來了， 但是有個問題， 就是無法通過數組得到同1個父子點兄弟之間的順序， 例如無法知道C1，C2,C3這個3兄弟在樹中的順序， 所以雙親表示法只適合表示無序的樹。
? ? ? ? ? ? ? ?? 優點：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 幾乎不浪費內存空間， 查找父節點很容易。
? ? ? ? ? ? ? ?? 缺點：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 不能表示有序的樹， 查找子節點相對困難， 查找任何1個節點的子節點都必須遍歷整個數組。 不能表示有序的樹。
? ? ? ? ??
?????????? 3.2.2 孩子表示法(數組)：
???????????????? 孩子表示法也是利用連續存儲來實現的， 它的節點同樣具有兩個域， 1個是數據域， 另1個是1個子節點下標鏈表的頭節點地址。
???????????????? 關鍵就是這個鏈表了， 鏈表的節點有兩個域， 1個是int類型，用于表示節點下標， 另1個是指針。
???????????????? 如下圖：
??????????? 可以見到， 因為可以利用子節點下標鏈表的順序來表示子節點兄弟的順序， 所以這種表示法是能表示有序樹的。
??????????? 優點：
????????????????? 查找子節點算法很方便， 可以表示有序樹
??????????? 缺點：
???????????????? 查找父節點算法很困難， 必須遍歷每1個節點的子節點下標鏈表， 如上圖， 甚至判斷哪個是根節點都需要遍歷啊（O(n^2)）！?
??????????
??????? 3.2.3 雙親孩子表示法(數組)：
???????? 由上面的例子可以看出， 其實雙親表示法和孩子表示法的優缺點是互補的， 所以把它們合拼在一起就是雙親孩子表示法了。
???????? 所謂雙親孩子法就是指表示樹的數組內的節點有3個域， 數組域， 父節點下標域，及子節點下標鏈表域。
???????? 如下圖：
????????
???????? 優點：
????????????? 具有雙親表示法和孩子表示法的所有優點， 關鍵是方便地查找父節點和子節點。
???????? 缺點：
????????????? 占用相對更多的內存空間。
???????
?????? 3.2.4 二叉樹表示法 ：
??????? 這個的原理就是把一般樹轉化為二叉樹， 然后再利用二叉樹的存儲方法來存儲。
??????? 關鍵是如何把1個一般樹轉化為二叉樹？? 一句話：? 每個子節點的左子節點指向它原來的第1個子節點，?右子節點指向它原來的下1個兄弟。
??????? 所以這個方法又叫孩子兄弟鏈表表示法
??????? 如下圖：
??????? 可以看到， 轉換后層數增加了， 而且某個子樹的度越大， 轉化后所需的層數越多， 畢竟是利用層數來表示兄弟的個數啊。
??????? 而且有個特點， 就是轉化后的二叉樹， 對于根節點來講， 是沒有右字數的， 因為根節點沒有兄弟嘛。
??????? 優點：
???????????? 能使用一些二叉樹的算法。
??????? 缺點：
???????????? 查找真正的父節點和子節點的算法有點復雜，? 例如上圖轉化后的二叉樹， 如果求C3的父節點， 則必須反方向先求出C2和C1..
???????
???????? 3.3 森林的存儲：
? ? ? ? ??? 所謂森林上面也提到過了， 就是互不相交(沒有公共節點）的n棵樹的集合。
? ? ? ? ? ? 例如下圖中的三棵樹就可以組成1個森林。
? ? ????????
?????????? 一般來講，
?????????? 首先： 我們會先把森林的所有樹轉化為二叉樹（孩子兄弟鏈表表示法）
?????????? 然后： 把轉化后的二叉樹合成1個新的二叉樹， 怎么合成？ 就是把各個二叉樹視為兄弟， 然后新增1個根節點作為它們的父子點。
?????????? 其實不難理解的啦， 轉化后如圖：
??????? 然后就按照二叉樹的方法存儲就ok了。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数据结构 非线性结构 树 介绍及存储方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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