• 今天講解一下堆排序的原理以及實現、復雜度和穩定性分析

---

目錄

• • 1 堆的定義
  • 2 堆排序的思路
  • 3 代碼實現
  • 4 堆的輸出(刪除操作)
  • 5 堆的插入操作
  • 6 堆排序的特點
  • 7 性能分析

1 堆的定義

堆排序（英語：Heapsort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序算法。堆是一個近似完全二叉樹的結構，并同時滿足堆積的性質：即子結點的鍵值或索引總是小于（或者大于）它的父節點。

定義：
n個關鍵字序列L[1…n]稱為堆，當且僅當該序列滿足:

① L(i)>=L(2i) 且 L(i)>=L(2i+1)或

② L(i)<=L(2i) 且 L(i)<=L(2i+1) (1≤isln/2])

可以將該一維數組視為一棵完全二叉樹

大根堆：滿足條件① 的堆稱為大根堆(大頂堆)，大根堆的最大元素存放在根結點，且其任一非根結點的值小于等于其雙親結點值

對于堆中的元素編號，其實也是邏輯結構映射到數組的一個過程；

小根堆：滿足條件2的堆稱為小根堆(小頂堆)，小根堆的定義剛好相反，根結點是最小元素

2 堆排序的思路

首先將存放在L[1…n]中的n個元素建成初始堆，由于堆本身的特點(以大頂堆為例)，堆頂元素就是最大值。
輸出堆頂元素后，通常將堆底元素送入堆頂，堆被破壞，將堆頂元素向下調整使其繼續保持大頂堆的性質，再輸出堆頂元素。如此重復。

• 根據數組構建一個完全二叉樹
• 從最后一個非葉節點開始調整，使得子樹成為堆
• 如此重復，直至滿足堆的定義

值得注意的是：

大根堆排序結果為升序

小根堆排序結果為降序

這是一個常見的誤區！

這是因為：堆使用的時候都是每次把堆頂的元素干掉留下堆內部的元素做成Top N

如果你要找100000中的 TOP100最大的，你用小根堆

如果你要找100000中的 TOP100最小的，你用大根堆

3 代碼實現

void BuildMaxHeap(int *arr,int len) {// 建立初始大根堆 for(int i = (len-1)/2; i >= 0; i--){HeapAdjust(arr,i,len);} }// 子樹調整 void HeapAdjust(int *arr,int k,int len) {int temp = arr[k]; // 暫存根節點 for(int i = k*2+1;i < len;i = i*2+1){if (i < len-1 && arr[i] < arr[i+1])i++;if (temp >= arr[i])break; // 篩選結束 else {arr[k] = arr[i];k = i; // 繼續向下篩選 }}arr[k] = temp ; // 篩選的值放入最終位置 }void HeapSort(int *arr,int len) {BuildMaxHeap(arr,len);for(int i = len-1;i > 0;i--){ arr[0] = arr[0] ^ arr[i]; arr[i] = arr[0] ^ arr[i]; arr[0] = arr[0] ^ arr[i];HeapAdjust(arr,0,i);} }

4 堆的輸出(刪除操作)

堆中根結點的值肯定是最值，不是最大就是最小，往往需要使用到。

即每次都刪除第0個數據（根結點）

那么堆中輸出根節點之后如何保證堆原有的特性呢？

刪除之后，打破了原有規律，需要調整！

• 刪除根結點

• 將最后一個數據的值賦給根結點

• 然后再從根結點開始進行一次從上向下的調整

5 堆的插入操作

• 對堆進行插入操作時，先將新結點放在堆的末端

• 隨后再向上執行調整操作
  
  
  
  

6 堆排序的特點

堆排序適合關鍵字較多的情況(如n>1000)
不適合關鍵字較少的情況
大根堆排序結果為升序
小根堆排序結果為降序

例如，在1千萬個數中選出前100個最大值?
首先使用一個大小為100的數組，讀入前100個數，建立小頂堆，而后依次讀入余下的數，若小于堆頂則舍棄，否則用該數取代堆頂并重新調整堆，待數據讀取完畢，堆中100個數即為所求。

7 性能分析

【空間復雜度】:僅使用常數個輔助單元，空間復雜度為 O(1)

【時間復雜度】:建堆時間為 O(n)，之后有n-1次向下調整操作，每次調整的時間復雜度為 O(h) h表示樹高

故在最好、最壞和平均情況下，堆排序的時間復雜度為 O(nlog2n)

【穩定性】:進行篩選時，有可能把后面相同關鍵字的元素調整到前面，所以堆排序算法是一種不穩定的排序方法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排序算法 | 堆排序，算法的图解、实现、复杂度和稳定性分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。