算數分解定理(唯一分解定理)：

定義：

任何一個大于1的自然數 N,如果N不為質數，那么N可以唯一分解成有限個質數的乘積 N=P1^a1 P2^a2P3^a3…Pn^an，這里P1<P2<P3…<Pn均為質數，其中指數ai是正整數。這樣的分解稱為 N 的標準分解式.

應用：對于一個正整數n，如果n=q1^a1 * q2 ^a2 * …* qn^an,那么他的正因數個數為(1 a1) * (1 a2)* . . . *(1 an);

樣例：

1000=2* 500=2* (2 * 250)=2 * 2 *( 2 * 125)=2 * 2 * 2 *(5 * 25)=2 * 2 * 2 * 5 * (5 *5)=2³*5³.可以看的出來基本策略就是從2開始除，直到不是2的倍數然后網上遞增求。

計算方法：

計算n的分解方式。主要是通過數的自身對從最小的質數開始整除除一直到不能整除，直到跳出限制條件。

你可以從2到n;逐個遍歷判斷，滿足條件的話就在數組中添加對應的count。當然，每被計算一次的時候，這個數就要被除一次。

上面方法對于大的數據顯然復雜度太高。其實你可以從2遍歷到根號n 1(i * i<n 1)停止，因為最大的理想乘積是i*i=n，其他的數據都是一個左，一個右面。最終分解的時候如果都分到這步了說明要么后面不剩，要么就是剩一個大質數。

上面雖然從數的量級減少了不少，但是會遍歷很多沒用的合數，比如遍歷過2所有而的倍數都不需要遍歷判斷，所以我們只需要遍歷素數。素數打表遍歷素數，當遇到多組輸入，數據要求較高的時候，先用素數篩打表，把素數預處理，然后直接從2-素數數組中遍歷即可，因為如果一個數能被拆，那么他如果不能被拆，他就是素數，如果它還能被拆，那么它就是合數。所以一個數被分解到最后都是素數的次冪相乘！很重要！這樣能夠省的更多的時間。可以參考素數篩模板。

核心代碼：
不打表：

for(int j=2;jj<n+1;j++) {while(n%j==0){n/=j;//根據需求操作}//根據需求操作...}

打表：

static int index=0;//根據數據范圍范圍內素數的最后一個位置prime[index] long prime[]=new long[100001]; boolean isprime[]=new boolean[1000001]; for(int i=2;i<1000001;i++)//埃拉托色尼篩選法 {if(!isprime[i]){prime[index ++]=i;for(int j=i+i;j<1000000;j=j+i){isprime[j]=true; }} } ........ ........// int n;for(int j=0;j<index;j++){if(n==0||prime[j]>n) {break;}//素數已經超出無法最大的數，退出long team=0;//其他操作，可以是你自己的邏輯while(c%prime[j]==0){c/=prime[j];team++ ;//其他操作}number*=(1+ team);//其他操作}

唯一分解定義有什么用？

• 例如給一個1000，這樣的數，問有多少種可能組合使得a * b=1000.或者求a*b中在那個范圍內a，b的排列次數。

• 首先要了解一個唯一分解定理的應用：對于一個正整數n，如果n=q1^a1 * q2 ^a2 * …* qn^an,那么他的正因數個數為(1 a1) * (1 a2)…(1 an);對于這個，就可以衍生其他問題，比如找兩個因數的組合情況，可能性，在那個范圍等等。其實這就是一個組合問題。對于每一個數有t個，能夠影響最終結果的就是這個素數出現的次數。如果細看雖然每個數的概率都是可能出現和不出現的1/2.但是對于最終結果就是：出現0次，出現1次，出現。。。，出現t次。所以這個數對結果出現的可能行變成了原來次數*（1 t）.以此類推，便可得到所有的因數可能的結果。

• 就例如1000=2³ * 5³:
  對于結果首先2和5是獨立互不影響的。所以對于一個因數。質數2的搭配有四種，出現0個，1個，2個或3個。同理質數5的搭配也是4種，所以最終因數可能出現的次數是4 * 4=1*(3 1)*(3 1)=16個。

例題

看下hdu5248

題意：給出n個數，求這n個數中最小的兩個因數乘積，題意有些小的歧義不太好理解。說明白了就是讓你從n個數分解找最小的兩個因子相乘.(1不滿足因為1沒有2個及以上因子).

思路：數據量不大，可以不打表直接素數分解。其實每個數找到2個因子就可以停止了，放到list或者數組中，最后排序判斷因子是否大于等于2個。按照要求輸出

附上ac代碼：

import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Scanner;public class hdu5248 {public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int T=sc.nextInt();for(int q=0;q<T;q++ ){int n=sc.nextInt();List<Long>list=new ArrayList<Long>();for(int i=0;i<n;i++){long te=sc.nextLong();int num=0;for(int j=2;(long)j*j<te+1;j++ ){while(te%j==0){list.add((long) j);te/=j;num ;}if(num>2)break;//其實找到兩個就不用找了}if(te>1) {list.add(te);}}if(list.size()<2)System.out.println(-1);else {list.sort(null);System.out.println((long)(list.get(0)*list.get(1)));}}} }

lightoj1341
題目大意：給個面積s。一個邊b，問最小邊大于b的所有可能情況。
思路：整體-多余。先求出所有的排列次數，然后除以二（要求組合隊數）。再從0頭到b開始剪掉多余的情況。不需要考慮特大的那邊，因為是對稱的已經除以過二了。
ac代碼：

埃氏篩

import java.util.Scanner; public class testC { static int index=0; public static void main(String[] args) {// TODO 自動生成的方法存根long prime[]=new long[100001];boolean isprime[]=new boolean[1000001];for(int i=2;i<1000001;i++)//埃拉托色尼篩選法{if(!isprime[i]){prime[index++]=i;for(int j=i +i;j<1000000;j=j+i){isprime[j]=true; }}}Scanner sc=new Scanner(System.in);int t=sc.nextInt();for(int i=0;i<t;i++){long a=sc.nextLong();long b=sc.nextLong();long number=1;long c=a;if(b*b>=a) {number=0;}//不可能的情況，最小邊大于可能拼成的情況else {for(int j=0;j<index;j++){if(c==0||prime[j]>c) {break;}//超出界，跳出long team=0;while(c%prime[j]==0){c/=prime[j];team++;}number*=(1+team);//計算} if(c>1)number*=2;number/=2;//這里別被繞進去。這里不是按照次冪計算的，而是按照實打實的一個一個數判斷的。for(int j=1;j<b;j++){if(a%j==0)number--;}}System.out.println("Case " (i+1) ": " +number);} }}

歐拉篩：

import java.util.Scanner;public class testC {static int index=0;public static void main(String[] args) {// TODO 自動生成的方法存根int prime[] = new int[100001];// 記錄第幾個primeint index = 0;boolean isprime[] = new boolean[1000001];for (int i = 2; i < 1000001; i++) {if (!isprime[i]) {prime[index++] = i;}for (int j = 0; j < index && i * prime[j] < 1000001; j++) {isprime[i * prime[j]] = true;// 找到的素數的倍數不訪問if (i % prime[j] == 0)break;// 關鍵！！！！}}Scanner sc=new Scanner(System.in);int t=sc.nextInt();for(int i=0;i<t;i++){long a=sc.nextLong();long b=sc.nextLong();long number=1;long c=a;if(b*b>=a) {number=0;}//不可能的情況，最小邊大于可能拼成的情況else {for(int j=0;j<index;j++){if(c==0||prime[j]>c) {break;}long team=0;while(c%prime[j]==0){c/=prime[j];team++;}number*=(1+team);} if(c>1)number*=2;number/=2;for(int j=1;j<b;j++){if(a%j==0)number--;}}System.out.println("Case " (i+1) ": " +number);}} }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的唯一分解定理(算术基本定理)详解——hdu5248和lightoj1341的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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