串的定義

串（string）是有0~n個字符組成的有限序列，一般記為
$$S{=}^{\prime }{a}_1{a}_2\dots a_n^{\prime }(n\ge 0)$$
S 是字符串的名稱，$a_i$ 可以是字母數字或其他字符。

其中，串中任意連續的字符組成的子序列稱為該串的 子串。

字符在串中的位置 通常是該字符在序列中的序號

子串在主串中的位置 指的是子串第一個字符在主串中的位置

串的模式匹配

子串的定位操作通常稱之為串的模式匹配，它的目的是要獲取子串在主串的位置。

一般的，我們想到的是一種暴力破解的方法

也就是說，從主串 S 的第 pos 個字符起，與模式串的一個字符比較，若相等，則繼續逐個比較主串和模式的后續字符；否則，從主串的下一個字符起，重新和模式的字符比較，以此類推，直至成功或失敗。

int IndexSubstring(string s, string sub, int pos) {int i = pos;int j = 0;while(i < s.size() && j < sub.size()) {if(s[i]==sub[j]) {i++;j++;} else {i = i - j + 1;j = 0;}}if(j >= sub.size()) return i - sub.size() + 1; // 查找成功else return 0; // 查找失敗 }

但這種暴力破解的算法的最壞時間復雜度為O(mn)，m和n分別是主串和模式串的長度。

KMP算法——改進的模式匹配算法

在回顧上面暴力破解的算法，我們可以得到，暴力算法每一次回溯都是回到模式串最初的起點，事實上，這一步是可以改進的。

【KMP算法】利用比較過的信息，i 指針不需要回溯，僅將子串向后滑動一個合適的位置，并從這個位置開始和主串比較，這個合適的位置僅與 子串本身結構有關，與主串無關。

【KMP算法】實際上是一種【備忘錄設計模式】，下面通過幾個步驟或許可以讓你了解這個算法的使用。

我們以主串 s='ababcabcacbab'，模式串 sub=‘abcac’

1.獲取模式串的 next 數組（備忘錄）

子串前綴后綴前后綴相同的最長

a	-	-	0
ab	a	b	0
abc	a,ab	c,bc	0
abca	a,ab,abc	a,ca,bca	1
abcac	a,ab,abc,abca	c,ac,cac,bcac	0

所以 模式串sub 的 next數組 為

sabcac

next	0	0	0	1	0

2.匹配過程

要滿足一個公式：移動位數 = 已經匹配的位數 - 對應的部分匹配值

第一趟：發現 a 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

但是前面兩個字符 'ab' 是匹配的，查表可知，最后一個匹配字符 b 對應匹配部分值為 0，按公式，計算 $ 2-0=2 $，所以，模式串向后移動 2 位。

第2趟：模式串向后移動 2 位后，發現 b 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

但是前面兩個字符 'abca' 是匹配的，查表可知，最后一個匹配字符 a 對應匹配部分值為 1 ，按公式，計算 $4?1=3$，所以，模式串向后移動 3 位。

第3趟：模式串向后移動 3 位后，匹配成功

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

使用【KMP算法】后，時間復雜度變為了O(m+n)

KMP原理

已知公式：移動位數 = 已經匹配的位數 - 對應的部分匹配值

改為代碼：
$$move=(j?1)?next[j?1]$$
優化公式，如果我們將 next數組 向后挪一位，就不需要 next[j-1] ，只需要直接使用 next[j] 即可

sabcac

next	0	0	0	1	0
右移	-1	0	0	0	1

于是上述公式（2）既可以改為
$$move=(j?1)?next[j]$$
此時，得到串移動的公式
$$j=j?move=j?((j?1)?next[j])=next[j]+1$$
進一步優化，我們可以將右移后是 next數組 總體+1，那么，最后的數組就變成了
$$j=next[j]$$

sabcac

next	0	0	0	1	0
右移	-1	0	0	0	1
右移+1	0	1	1	1	2

最后一行的意思是，把模式串的第 next[j] 個值，移動 j 這個位置。或者說，從模式串的第 next[j] 個數組開始查找，主串繼續移動即可。

3.使用了改進后的next數組再匹配過程

第一趟：發現 a 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

在 c（pos=2） 這個位置匹配失敗，查表得，c 的對應值是 1 ，也就是將模式串的第一個字符 （a） 移到 c（pos=2） 這個位置

第2趟：模式串向后移動 2 位后，發現 b 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

在 c（pos=6） 這個位置匹配失敗，查表得，c 的對應值是 2 ，也就是將模式串的第二個字符 （b） 移到 c（pos=6） 這個位置

第3趟：模式串向后移動 3 位后，匹配成功

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

參考代碼

獲取next數組

void getNext(string sub, int next) {int i = 0;int j = 0;next[0] = 0;while(i<sub.size()) {if(j == 0|| s[i]==s[j]){i++;j++;next[i] = j;} else {j = next[j];}} }

【KMP算法】

int Index(string s, string sub, int next[], inr pos) {int i = pos;int j = 0;while(i<s.size()&&j<sub.size()) {if(j==0||s[i]==sub[j]){i++;j++; } else {j = next[j]; // 模式串右移}if(j >= sub.size()) {return i - sub.size() + 1;} eles {return 0;}} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-查找】2.字符串（逐步演绎过程，超级详解KMP算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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