串的定義

串（string）是有0~n個(gè)字符組成的有限序列，一般記為
$$S{=}^{\prime }{a}_1{a}_2\dots a_n^{\prime }(n\ge 0)$$
S 是字符串的名稱，$a_i$ 可以是字母數(shù)字或其他字符。

其中，串中任意連續(xù)的字符組成的子序列稱為該串的 子串。

字符在串中的位置 通常是該字符在序列中的序號(hào)

子串在主串中的位置 指的是子串第一個(gè)字符在主串中的位置

串的模式匹配

子串的定位操作通常稱之為串的模式匹配，它的目的是要獲取子串在主串的位置。

一般的，我們想到的是一種暴力破解的方法

也就是說，從主串 S 的第 pos 個(gè)字符起，與模式串的一個(gè)字符比較，若相等，則繼續(xù)逐個(gè)比較主串和模式的后續(xù)字符；否則，從主串的下一個(gè)字符起，重新和模式的字符比較，以此類推，直至成功或失敗。

int IndexSubstring(string s, string sub, int pos) {int i = pos;int j = 0;while(i < s.size() && j < sub.size()) {if(s[i]==sub[j]) {i++;j++;} else {i = i - j + 1;j = 0;}}if(j >= sub.size()) return i - sub.size() + 1; // 查找成功else return 0; // 查找失敗 }

但這種暴力破解的算法的最壞時(shí)間復(fù)雜度為O(mn)，m和n分別是主串和模式串的長度。

KMP算法——改進(jìn)的模式匹配算法

在回顧上面暴力破解的算法，我們可以得到，暴力算法每一次回溯都是回到模式串最初的起點(diǎn)，事實(shí)上，這一步是可以改進(jìn)的。

【KMP算法】利用比較過的信息，i 指針不需要回溯，僅將子串向后滑動(dòng)一個(gè)合適的位置，并從這個(gè)位置開始和主串比較，這個(gè)合適的位置僅與 子串本身結(jié)構(gòu)有關(guān)，與主串無關(guān)。

【KMP算法】實(shí)際上是一種【備忘錄設(shè)計(jì)模式】，下面通過幾個(gè)步驟或許可以讓你了解這個(gè)算法的使用。

我們以主串 s='ababcabcacbab'，模式串 sub=‘a(chǎn)bcac’

1.獲取模式串的 next 數(shù)組（備忘錄）

子串前綴后綴前后綴相同的最長

a	-	-	0
ab	a	b	0
abc	a,ab	c,bc	0
abca	a,ab,abc	a,ca,bca	1
abcac	a,ab,abc,abca	c,ac,cac,bcac	0

所以 模式串sub 的 next數(shù)組 為

sabcac

next	0	0	0	1	0

2.匹配過程

要滿足一個(gè)公式：移動(dòng)位數(shù) = 已經(jīng)匹配的位數(shù) - 對(duì)應(yīng)的部分匹配值

第一趟：發(fā)現(xiàn) a 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

但是前面兩個(gè)字符 'ab' 是匹配的，查表可知，最后一個(gè)匹配字符 b 對(duì)應(yīng)匹配部分值為 0，按公式，計(jì)算 $ 2-0=2 $，所以，模式串向后移動(dòng) 2 位。

第2趟：模式串向后移動(dòng) 2 位后，發(fā)現(xiàn) b 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

但是前面兩個(gè)字符 'abca' 是匹配的，查表可知，最后一個(gè)匹配字符 a 對(duì)應(yīng)匹配部分值為 1 ，按公式，計(jì)算 $4?1=3$，所以，模式串向后移動(dòng) 3 位。

第3趟：模式串向后移動(dòng) 3 位后，匹配成功

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

使用【KMP算法】后，時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)榱薕(m+n)

KMP原理

已知公式：移動(dòng)位數(shù) = 已經(jīng)匹配的位數(shù) - 對(duì)應(yīng)的部分匹配值

改為代碼：
$$move=(j?1)?next[j?1]$$
優(yōu)化公式，如果我們將 next數(shù)組 向后挪一位，就不需要 next[j-1] ，只需要直接使用 next[j] 即可

sabcac

next	0	0	0	1	0
右移	-1	0	0	0	1

于是上述公式（2）既可以改為
$$move=(j?1)?next[j]$$
此時(shí)，得到串移動(dòng)的公式
$$j=j?move=j?((j?1)?next[j])=next[j]+1$$
進(jìn)一步優(yōu)化，我們可以將右移后是 next數(shù)組 總體+1，那么，最后的數(shù)組就變成了
$$j=next[j]$$

sabcac

next	0	0	0	1	0
右移	-1	0	0	0	1
右移+1	0	1	1	1	2

最后一行的意思是，把模式串的第 next[j] 個(gè)值，移動(dòng) j 這個(gè)位置。或者說，從模式串的第 next[j] 個(gè)數(shù)組開始查找，主串繼續(xù)移動(dòng)即可。

3.使用了改進(jìn)后的next數(shù)組再匹配過程

第一趟：發(fā)現(xiàn) a 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

在 c（pos=2） 這個(gè)位置匹配失敗，查表得，c 的對(duì)應(yīng)值是 1 ，也就是將模式串的第一個(gè)字符 （a） 移到 c（pos=2） 這個(gè)位置

第2趟：模式串向后移動(dòng) 2 位后，發(fā)現(xiàn) b 與 c 不配

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

在 c（pos=6） 這個(gè)位置匹配失敗，查表得，c 的對(duì)應(yīng)值是 2 ，也就是將模式串的第二個(gè)字符 （b） 移到 c（pos=6） 這個(gè)位置

第3趟：模式串向后移動(dòng) 3 位后，匹配成功

ababcabcacbab

a

b

c

a

c

參考代碼

獲取next數(shù)組

void getNext(string sub, int next) {int i = 0;int j = 0;next[0] = 0;while(i<sub.size()) {if(j == 0|| s[i]==s[j]){i++;j++;next[i] = j;} else {j = next[j];}} }

【KMP算法】

int Index(string s, string sub, int next[], inr pos) {int i = pos;int j = 0;while(i<s.size()&&j<sub.size()) {if(j==0||s[i]==sub[j]){i++;j++; } else {j = next[j]; // 模式串右移}if(j >= sub.size()) {return i - sub.size() + 1;} eles {return 0;}} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-查找】2.字符串（逐步演绎过程，超级详解KMP算法）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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