B樹

B樹的定義（為什么需要B樹）

B樹是一類樹，也稱為了 平衡的多路查找樹。包括B樹、B+樹、B*樹等，是一棵 自平衡的搜索樹，它類似普通的平衡二叉樹，不同的一點是B樹允許每個結(jié)點有更多的子結(jié)點。B樹是 專門為外部存儲器設(shè)計的，如磁盤，它對于讀取和寫入大塊數(shù)據(jù)有良好的性能，所以一般被用在 文件系統(tǒng) 及 數(shù)據(jù)庫 中。

傳統(tǒng)用來搜索的平衡二叉樹有很多，如 AVL 樹，紅黑樹等。這些樹在一般情況下查詢性能非常好，但當(dāng)數(shù)據(jù)非常大的時候它們就無能為力了。

原因是 當(dāng)數(shù)據(jù)量非常大時，內(nèi)存不夠用，大部分?jǐn)?shù)據(jù)只能存放在磁盤上，只有需要的數(shù)據(jù)才加載到內(nèi)存中。一般而言內(nèi)存訪問的時間約為 50 ns，而磁盤在 10 ms 左右。速度相差了近 5 個數(shù)量級，磁盤讀取時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)據(jù)在內(nèi)存中比較的時間。這說明程序大部分時間會阻塞在磁盤 IO 上。

那么我們?nèi)绾翁岣叱绦蛐阅?#xff1f;減少磁盤 IO 次數(shù)，像 AVL 樹，紅黑樹這類平衡二叉樹從設(shè)計上無法“迎合”磁盤。

B樹的特點

索引的效率依賴于磁盤 IO 的次數(shù)，快速索引需要有效的減少磁盤 IO 次數(shù)，如何快速索引呢？索引的原理 其實是不斷的縮小查找范圍，就如我們平時用字典查單詞一樣，先找首字母縮小范圍，再第二個字母等等。

平衡二叉樹是每次將范圍分割為兩個區(qū)間。為了更快，B樹每次將范圍分割為多個區(qū)間，區(qū)間越多，定位數(shù)據(jù)越快越精確。

那么如果結(jié)點為區(qū)間范圍，每個結(jié)點就較大了。所以新建結(jié)點時，直接申請頁大小的空間（磁盤是按頁分的，一般為 512 Byte（字節(jié)）。磁盤 IO 一次讀取若干個頁，具體大小和操作系統(tǒng)有關(guān)，一般為 4k，8k 或 16k），計算機內(nèi)存分配是按頁對齊的，這樣就實現(xiàn)了一個結(jié)點只需要一次 IO。

具體來說，拿一棵m階B樹為例，滿足如下性質(zhì)

書中每個結(jié)點最多有m棵子樹（即最多含有m-1個關(guān)鍵字）

解釋： m 階B樹，它結(jié)點的指針域最多有 m 個，每個指針域指向一棵子樹；兩個指針域之間必須由一個 key 值將兩個指針域隔開

若根結(jié)點不是葉子結(jié)點，則至少有兩棵樹，根結(jié)點關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量$[1,m?1]$，子樹數(shù)量$[2,m]$

解釋： 根結(jié)點如果不是葉子結(jié)點（在B樹中，葉子結(jié)點是沒有信息的，也就是null），那么根結(jié)點至少有兩個指針域（換句話說，至少有兩棵子樹）。如果沒有兩棵子樹怎么辦（比如，只有兩個key），那么，將這兩個key合并為一個結(jié)點（如果無法合并，比如m=2，那就無法構(gòu)成B樹）。B樹的根結(jié)點至少有一個關(guān)鍵字，最多有m-1個關(guān)鍵字（也就是有m個指針域，m棵子樹）

除根結(jié)點外的所有非葉結(jié)點至少有 $\frac{m}{2}(向上取整)$ 棵子樹（即最少含有 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ 個關(guān)鍵字）,除根結(jié)點外的所有非葉結(jié)點關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量$[\frac{m}{2}(向上取整)?1,m?1]$，子樹數(shù)量 $[\frac{m}{2}(向上取整),m]$

解釋： 多有除了根結(jié)點的非葉子結(jié)點，子樹數(shù)量的下限是被控制的，不像根結(jié)點一樣，最少可以有2棵子樹，而是最少要有 $\frac{m}{2}(向上取整)$ 棵子樹

同一結(jié)點內(nèi)有序，父子結(jié)點之間滿足二叉排序樹的排列規(guī)則

所有葉子結(jié)點出現(xiàn)在同一層次上，且不帶信息

圖示為一棵B樹。如果要尋找 30 的話，比較根結(jié)點 {20, 50, 70}，因為 $20\le 30\le 50$，走①號線；得到的子結(jié)點 {25, 30, 40}，找到了值為 30 的結(jié)點

綜合來說： B樹在提高效率就像二叉排序樹一樣，不同的是，面對不同階的樹，其結(jié)點上的值可能不止一個

那么，每棵B樹的結(jié)點多少個是如何決定的呢？

比如說，對于任意一棵包含n（n≥1）個關(guān)鍵字、高度為h、階數(shù)為m的B樹：

也就是說，這一棵B樹的結(jié)點中的值的個數(shù)在 $[1,m?1]$

一棵B樹的高的范圍為
$$h\in [lo{g}_m(n+1),lo{g}_{\frac{m}{2}}(\frac{n+1}{2})+1](\frac{m}{2}向上取整)$$
例如：一棵3階B樹，有8個結(jié)點，那么它的 h∈[2,3.17]

、

做一個思考，把100挪到90以下可以嗎？為什么？

（答案顯然是不可以的，首先，不滿足第3條，即非根結(jié)點需要的子樹是$[\frac{m}{2}(取上限),m]$，在本示例中為$[2,3]）$ ,把100挪到90以下,90只有一棵子樹了；其次不滿足第5條，即葉子結(jié)點在同一層)

B樹的查找

接下來讓我們來看看B樹的查找。

總的來說B樹的查找分為兩個基本操作：

在B樹中尋找結(jié)點

在結(jié)點內(nèi)找關(guān)鍵字

下面，假設(shè)每個結(jié)點有 n 個 key值，被分割為 n+1 個區(qū)間，注意，每個 key 值緊跟著 data 域，這說明B樹的 key 和 data 是聚合在一起的。這里給出一棵B樹




一般而言，根結(jié)點都在內(nèi)存中，B樹以每個結(jié)點為一次磁盤 IO，比如上圖中，若搜索 key 為 25 結(jié)點的 data，首先在根結(jié)點進行二分查找（因為 keys 有序，二分最快），判斷 key 25 小于 key 50，所以定位到最左側(cè)的結(jié)點，此時進行一次磁盤 IO，將該結(jié)點從磁盤讀入內(nèi)存，接著繼續(xù)進行上述過程，直到找到該 key 為止。

參考代碼

Data* BTreeSearch(Root *node, Key key) {Data* data;if(root == NULL)return NULL;// 二分法查找目標(biāo)keydata = BinarySearch(node);if(data->key == key){return data;}else{// 若沒有找到，對磁盤進行一次IO操作node = ReadDisk(data->next);BTreeSearch(node, key);} }

B樹的插入

與二叉查找樹相比，B樹的插入就復(fù)雜得多了。因為B樹的定義和限制就決定了這一點。

下面用圖片的方式，給大家介紹B樹插入過程中需要注意的問題

這是一棵3階B樹，給出一組關(guān)鍵字{20, 30, 50, 52, 60, 68, 70}，根據(jù)B樹的性質(zhì)，根結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量調(diào)整范圍為[1,2]，其他非葉結(jié)點關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量調(diào)整范圍為[1,2]

step1： B樹為空，20插入，作為根結(jié)點，此時，根結(jié)點僅1個關(guān)鍵字；然后30插入，由于比20大，所以插入20的右邊，此時，根結(jié)點關(guān)鍵字個數(shù)為2個，滿足B樹要求

step2： 50插入，作為根結(jié)點，此時，根結(jié)點有3關(guān)鍵字，不滿足B樹的定義要求，所以需要分裂；按B樹的分裂方法，應(yīng)將中間的數(shù)提出，作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點，左右關(guān)鍵字作為其子結(jié)點，如下圖。

step3： 52插入，52比30大，來到右邊的子樹，52有比50大，所以插入到50右邊。此時這個結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量為2，滿足B樹定義要求。

step4： 60插入，52比30大，來到右邊的子樹，60有比52大，所以插入到52右邊。但此時，這個結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量為3，不滿足B樹定義要求。按照B樹分裂原則，將中間值52提出作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點，左右關(guān)鍵字作為52的子結(jié)點，如下圖。

step5： 68插入，68比52大，來到右邊的子樹，68有比60大，所以插入到60右邊。此時這個結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量為2，滿足B樹定義要求。

step6： 最后，70插入，70比52大，來到右邊的子樹，70有比68大，所以插入到68右邊。此時這個結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量為3，不滿足B樹定義要求。按照B樹分裂原則，將中間值68提出作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點，左右關(guān)鍵字作為68的子結(jié)點，如下圖2。但此時，他們的父結(jié)點，也是根結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量為3，不滿足B樹定義要求。按照B樹分裂原則，將中間值52提出作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點，左右關(guān)鍵字作為52的子結(jié)點，如下圖3 。

最后濃縮提煉總結(jié)

檢查插入結(jié)點后，結(jié)點關(guān)鍵字是否大于B樹定義的結(jié)點關(guān)鍵字上限

如果超過上限，那就采用結(jié)點分裂，將中間的結(jié)點作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點

之后再次檢查，提出后結(jié)點進入父結(jié)點后，該結(jié)點關(guān)鍵字是否大于B樹定義的結(jié)點關(guān)鍵字上限

如果超過上限，那就采用結(jié)點分裂，將中間的結(jié)點作為左右關(guān)鍵字的父結(jié)點（1,2循環(huán)，加一個檢查）

B樹的刪除

相對來說，B樹的刪除較為復(fù)雜，不過原理都是類似的，就是滿足B樹的定義。也就是說，最基本的一點，要是刪除后的結(jié)點中的關(guān)鍵字個數(shù)≥ $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ ，因此不可避免的，在刪除的過程中，涉及結(jié)點的合并問題。

根據(jù)刪除的關(guān)鍵字位置不同，可以分為關(guān)鍵字 在終端結(jié)點上 和 不在終端結(jié)點上

下面同樣結(jié)合圖片說明B樹的刪除是一個怎樣的過程（所舉的例子都是3階B樹，也就是說，B樹的根結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量范圍為$[1,2]$，非根非葉子結(jié)點的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量范圍為 $[1,2]$）。

1. 如果刪除的關(guān)鍵字在終端結(jié)點上

① 結(jié)點內(nèi)關(guān)鍵字?jǐn)?shù) 大于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ ，這是刪除這個關(guān)鍵字不會被破壞B樹的定義要求，所以直接刪除。

如下圖，刪除9，直接刪除

② 結(jié)點內(nèi)關(guān)鍵字?jǐn)?shù) 等于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ ，并且其左右兄弟結(jié)點存在關(guān)鍵字?jǐn)?shù)大于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ 的結(jié)點，則去兄弟結(jié)點中借關(guān)鍵字。

如下圖，刪除2，由于結(jié)點中的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量 等于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1=1$，恰好其兄弟結(jié)點{7,9}的關(guān)鍵字大于1，向兄弟結(jié)點借一個關(guān)鍵字，且在調(diào)整的時候需要按照大小順序進行排序。

③ 結(jié)點內(nèi)關(guān)鍵字?jǐn)?shù) 等于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ ，并且其左右兄弟結(jié)點不存在關(guān)鍵字?jǐn)?shù)大于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ 的結(jié)點，則需要對結(jié)點進行合并。

如下圖，刪除16，由于結(jié)點中的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量 等于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1=1$，但是其兄弟結(jié)點的關(guān)鍵字均等于1，所以不存在像兄弟結(jié)點借一個關(guān)鍵字這樣的情況。所以需要進行結(jié)點合并。

合并：把上一層的結(jié)點取關(guān)鍵字與下一層結(jié)點合并。這種合并方式不唯一。

如方案①是把父結(jié)點的14與11合并；方案②是把父結(jié)點的20與22合并

2. 如果刪除的關(guān)鍵字不在終端結(jié)點上

需要先轉(zhuǎn)換成在終端結(jié)點上，在按照在終端結(jié)點上的情況來分別考慮對應(yīng)的方法

這里介紹一個概念，就是相鄰關(guān)鍵字。

相鄰關(guān)鍵字就是對于不在終端結(jié)點上的關(guān)鍵字，它的相鄰關(guān)鍵字使其其 左子樹中最大的關(guān)鍵字 或者 右子樹中最小的關(guān)鍵字

第一種情況：存在關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量大于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$（這里等于1） 結(jié)點的左子樹和右子樹，在對應(yīng)子樹上找到該關(guān)鍵字的相鄰關(guān)鍵字，然后將相鄰關(guān)鍵字替換待刪除關(guān)鍵字

Step1：找出這個待刪除關(guān)鍵字的相鄰關(guān)鍵字，比如下圖中10的相鄰關(guān)鍵字急救室9和11，其實就是這個大小序列中該關(guān)鍵字的 直接前驅(qū)或者是直接后繼關(guān)鍵字

Step2：將這個待刪除的關(guān)鍵字和這個相鄰關(guān)鍵字互換

Step3：這是就回到了刪除終端結(jié)點的操作

第二種情況：存在關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量均等于 $\frac{m}{2}(向上取整)?1$ （這里等于1），則將這兩個子樹結(jié)點合并，然后刪除待刪除關(guān)鍵字

Step1：首先觀察待刪除結(jié)點14，發(fā)現(xiàn)它的左右子樹中關(guān)鍵字均等于1

Step2：將14的左右子樹合并為{11,6}

Step3：刪除14，然后將{11,6}結(jié)點作為20的左結(jié)點

B+樹

B+樹的概念

B+樹是B樹的變種，它與B樹的不同之處在于：

• 在B+樹中，key 的副本存儲在 內(nèi)部結(jié)點，真正的 key 和 data 存儲在葉子結(jié)點上 。
• n 個 key 值的結(jié)點指針域為 n 而不是 n+1。

因為內(nèi)結(jié)點并不存儲 data，所以一般B+樹的葉結(jié)點和內(nèi)結(jié)點大小不同，而B-樹的每個結(jié)點大小一般是相同的，為一頁。

為了增加 區(qū)間訪問性，一般會對B+樹做一些優(yōu)化。

如下圖帶順序訪問的B+樹。

B+樹的特點

一棵m階的B+樹需滿足下列條件

每個分支結(jié)點最多有m棵子樹（子結(jié)點）（與B樹一樣）

非葉根結(jié)點至少有兩棵子樹，其他分支結(jié)點至少有$\frac{m}{2}(向上取整)$ 棵子樹（與B樹一樣）

結(jié)點的子樹個數(shù)與關(guān)鍵字個數(shù)相等（與B樹不一樣，B樹的子樹比關(guān)鍵字多1）

所有葉結(jié)點包含全部關(guān)鍵字以及指向相應(yīng)記錄的指針業(yè)界點鐘將關(guān)鍵字按大小順序排序，并且相鄰葉結(jié)點按大小順序線連接起來

解釋：B+樹葉結(jié)點兩兩相連可大大增加區(qū)間訪問性，可使用在范圍查詢等，而B-樹每個結(jié)點 key 和 data 在一起，則無法區(qū)間查找。

根據(jù)空間局部性原理：如果一個存儲器的某個位置被訪問，那么將它附近的位置也會被訪問

B+樹可以很好的利用局部性原理，若我們訪問結(jié)點 key為 50，則 key 為 55、60、62 的結(jié)點將來也可能被訪問，我們可以利用磁盤預(yù)讀原理提前將這些數(shù)據(jù)讀入內(nèi)存，減少了磁盤 IO 的次數(shù)。 （根本目的）

當(dāng)然B+樹也能夠很好的完成范圍查詢。比如查詢 key 值在 50-70 之間的結(jié)點。

所有分支結(jié)點（可視為索引的索引）中僅包含它的各個子結(jié)點（即下一級的索引快）中關(guān)鍵字的最大值及指向其子結(jié)點的指針

解釋：B+非葉結(jié)點只做索引，沒有含該關(guān)鍵字對應(yīng)的存儲信息

同樣的m階B樹與m階B+樹有什么區(qū)別

B樹B+樹

n個關(guān)鍵字的結(jié)點有n+1棵子樹	n個關(guān)鍵字的結(jié)點有n棵子樹
每個結(jié)點（非根、內(nèi)部）的關(guān)鍵字個數(shù)范圍為$[\frac{m}{2}?1(向上取整),m?1]$ 根結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)范圍為[1,m-1]	每個結(jié)點（非根、內(nèi)部）的關(guān)鍵字個數(shù)范圍為$[\frac{m}{2}(向上取整),m]$ 根結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)范圍為[1,m]
每個結(jié)點的關(guān)鍵字都是包含全部信息的，也就是說，每個結(jié)點既包含了該關(guān)鍵字的data域，又包含了關(guān)鍵字的指針域（key）	葉結(jié)點包含信息，所有非葉結(jié)點均起索引作用，非葉結(jié)點中的每個索引只含對應(yīng)字?jǐn)?shù)的最大關(guān)鍵字和指向該子樹的指針，并不含該關(guān)鍵字對應(yīng)的存儲信息。
葉結(jié)點包含的關(guān)鍵字與其他結(jié)點包含的關(guān)鍵字是不重復(fù)的	葉結(jié)點包含了全部的關(guān)鍵字，也就是說，在非葉結(jié)點中出現(xiàn)的關(guān)鍵字也會出現(xiàn)在葉結(jié)點中
時間復(fù)雜度最好是O(1)	時間復(fù)雜度固定為$lo{g}_n$
每個結(jié)點 key 和 data 在一起，則無法區(qū)間查找	葉結(jié)點兩兩相連可大大增加區(qū)間訪問性，可使用在范圍查詢等
	更適合外部存儲，由于內(nèi)結(jié)點無 data 域，每個結(jié)點能索引的范圍更大更精確
B樹為有序數(shù)組+平衡多叉樹	而B+樹為有序數(shù)組鏈表+平衡多叉樹

不同的數(shù)據(jù)庫使用不同的樹的原因在哪里

1. 為什么 MongoDB 使用B-樹

MongoDB 是一種 nosql，也存儲在磁盤上，被設(shè)計用在數(shù)據(jù)模型簡單，性能要求高的場合。性能要求高，看看B/B+樹的區(qū)別第一點：

B+樹內(nèi)結(jié)點不存儲數(shù)據(jù)，所有 data 存儲在葉結(jié)點導(dǎo)致查詢時間復(fù)雜度固定為 log n。而B-樹查詢時間復(fù)雜度不固定，與 key 在樹中的位置有關(guān)，最好為O(1)

我們說過，盡可能少的磁盤 IO 是提高性能的有效手段。MongoDB 是聚合型數(shù)據(jù)庫，而 B-樹恰好 key 和 data 域聚合在一起。

2. 為什么 Mysql 使用B+樹

Mysql 是一種關(guān)系型數(shù)據(jù)庫，區(qū)間訪問是常見的一種情況，而 B-樹并不支持區(qū)間訪問（可參見上圖），而B+樹由于數(shù)據(jù)全部存儲在葉子結(jié)點，并且通過指針串在一起，這樣就很容易的進行區(qū)間遍歷甚至全部遍歷

B+樹葉結(jié)點兩兩相連可大大增加區(qū)間訪問性，可使用在范圍查詢等，而B-樹每個結(jié)點 key 和 data 在一起，則無法區(qū)間查找

B+樹的查詢效率更加穩(wěn)定，數(shù)據(jù)全部存儲在葉子結(jié)點，查詢時間復(fù)雜度固定為 O(log n)

B+樹更適合外部存儲。由于內(nèi)結(jié)點無 data 域，每個結(jié)點能索引的范圍更大更精確

B+樹更適合關(guān)系型數(shù)據(jù)庫

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-查找】4.五千字干活长文带你搞懂——B树和B+树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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