樹的定義

樹是一種數據結構，它是由 $n(n>=1)$ 個有限結點組成一個具有層次關系的集合。把它叫做 “樹” 是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點

每個結點有零個或多個子結點；

沒有父結點的結點稱為根結點；

每一個非根結點有且只有一個父結點；

除了根結點外，每個子結點可以分為多個不相交的子樹；

樹適合于表示具有層次的數據。樹中的某個結點（除了根結點）最多只和上一層的一個結點（及其父結點）有直接關系，根結點沒有直接上層結點，因此在n個結點的樹中有n-1條邊。

而樹中每個結點與其下一層的零個或多個結點（及其子女結點）有直接關系。

基本術語

以下概念不要求去記，理解概念即可，腦中要有圖

祖先結點：根結點10到結點3的唯一路徑上的任意結點，如結點10是結點3的祖先結點

子孫結點：如結點3是結點10的子孫結點

雙親結點：路徑上最靠近結點3的結點，如5是3的雙親結點（注意，根結點是沒有雙親結點的，如結點10）

孩子結點：如結點3是結點5的孩子結點

兄弟結點：有相同雙親的結點，如結點3和結點7有共同的雙親結點5，所以結點3和結點7是兄弟結點

結點的度：樹中一個結點的子結點個數

樹的度：樹中結點最大度數

分支結點：度大于0的結點

葉子結點：度為0的結點

結點的層次：從樹根開始定義，根節點為第1層，它的子結點為第2層，以此類推

結點的深度：從根結點開始自頂向下逐層累積的

結點的高度：從也結點開始自底向上逐層累積的

樹的高度：樹中結點的最大層數

有序樹：樹中結點的字數從左到右是有次序的，不能交換

無序樹：不是有序樹，就是無序樹

路徑：樹中兩個結點之間的所經過的結點序列構成的

路徑長度：路徑上所經過邊的個數

森林：由$m(m\ge 0)$ 棵互不相交的樹的集合。（樹把根結點去掉就變成了森林，給n棵獨立的樹加上一個結點，并把這n棵樹變成該結點的子樹，則森林變成了樹）

樹的性質

樹有這么幾最基本的性質

樹中的結點數等于所有節點數的度數+1（這個1是根結點）

度為m的樹中第i層，最多有$m^{i?1}$ 個結點（$ i ≥ 1 $）

高度為h的m叉樹至多有$\frac{(m^h?1)}{(m?1)}$ 個結點

具有n個結點的m叉樹的最小高度為 $log_m(n(m-1)+1)(向上取整) $

樹的存儲結構

樹的存儲方式有很多種，既可以采用順序存儲，也可以采用連式存儲。下面介紹3中常用的存儲結構。下圖為使用的示例樹形結構。

1. 雙親表示法

這種存儲方式采用一組連續空間來存儲每個結點，同時在每個結點中增設一個偽指針，指示其雙親結點在數組中的位置。

pos0123456789

parent	-1	0	0	0	1	1	3	6	6	6
data	R	A	B	C	D	E	F	G	H	K

解釋：R是根結點，沒有雙親結點，所以parent為-1；A，B，C是結點R的子節點，所以A，B，C的parent均為R的位置，也就是0；D，E是結點A的子節點，所以D，E的parent均為A的位置，也就是1；B沒有子結點；F是結點C的子節點，所以F的parent為C的位置，也就是3；G，H，K是結點F的子節點，所以G，H，K的parent均為F的位置，也就是6

其存儲結構可以是

struct TreeNode{int pos;char value;int parent;TreeNode *next; }

這種存儲結構的優點 ：很快找到每個結點的雙親結點

缺點 ：如果要求結點的孩子時，需要遍歷整個結構

2. 孩子表示法

孩子表示法是將每個結點的孩子結點都用單鏈表接起來，形成一個線性結構，此時n個結點就有n個孩子鏈表

posvaluechild’pos1child’pos2child’pos3so on

0	R	1	2	3	-
1	A	4	5	-
2	B	-
3	C	6	-
4	D	-
5	E	-
6	F	7	8	9	-
7	G	-
8	H	-
9	K	-

解釋：A，B，C是結點R的子節點，所以結點R子節點的位置為1，2，3；D，E是結點A的子節點，結點A的子結點位置為4，5；B沒有子結點；F是結點C的子節點，C的子結點位置為6；G，H，K是結點F的子節點，F的子結點位置是7，8，9

其存儲結構可以是

struct TreeNode{int pos;char value;vector<int> child;TreeNode *next; }

這種存儲結構的優點 ：很快找到每個結點的結點

缺點 ：如果要求結點的雙親時，需要遍歷整個結構

3. 孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法又稱二叉樹表示法，即以二叉鏈表作為樹的存儲結構。

孩子兄弟表示法是每個結點包括三部分內容：結點值、指向結點第一個孩子結點的指針，及指向結點下一個兄弟結點的指針

樹與森林的遍歷

樹的遍歷

樹的遍歷主要有先根遍歷、后根遍歷和層次遍歷（使用的示例樹形結構如下圖）





先根遍歷：若樹非空，則先訪問根節點，再按從左到右的順序遍歷根結點的每棵子樹。如上圖：RADEBCFGHK

void treePreOrder(TreeNode *node) {if(node==NULL) return;printf("%d",node->value);for(int i = 0; i< node.child.size(); i++) {treePreOrder(node.child[i]);}return; }

后根遍歷：若樹非空，按從左到右的順序遍歷根結點的每棵子樹，再訪問根節點。如上圖：DEABGHKFCR

void treeLastOrder(TreeNode *node){if(node==NULL) return;for(int i = 0; i< node.child.size(); i++) {treePreOrder(node.child[i]);}printf("%d",node->value);return; }

層次遍歷：

void treeLayerOrder(TreeNode *node){queue<int> q;q.push_back(node);while(!q.empty()){TreeNode *root = q.front();q.pop();printf("%d",node->value);for(int i = 0; i< node.child.size(); i++) {q.push_back(node.child[i]);}}return; }

森林遍歷

1. 先序遍歷森林

訪問森林中第一棵樹的根結點

先序遍歷第一棵樹中根結點的子樹森林

先序遍歷除去第一棵樹之后剩余的樹構成的森林

2. 中序遍歷森林

中序遍歷森林中第一棵樹的根結點的子樹森林

訪問第一棵樹的根結點

中序遍歷除去第一棵樹之后剩余的樹構成的森林

并查集的應用

并查集是一種樹型的數據結構，用于處理一些不相交集合的合并及查詢問題（森林→樹）。使用雙親表示法

原始的 parent 列表

位置0123456789

結點的值	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
雙親結點	-1	0	0	0	-1	4	4	-1	7	7

合并后parent 列表

位置0123456789

結點的值	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
雙親結點	-1	0	0	0	0	4	4	-1	7	7

并查集支持三種操作：1. 初始化，2. 尋找集合，3. 合并集合

// 初始化 void initialise(int parent[], int len) {for(int i = 0; i < len; i++) {// 記錄當前結點的雙親結點parent[i] = -1;// 記錄當前樹高rank[i] = 1;}return; } // 尋找x的根 int find_node(int x, int parent[]) {int x_node = x;while(parent[x_node]!=-1) {x_node = parent[x_node];}return x_node; } // 合并，在合并的時候，要注意樹的高度，應該把樹低的樹合并到樹高的樹中 int union(int x, int y, int parent[]) {int x_node = find_node(x,parent);int y_node = find_node(y,parent);// 在同一個集合里if(x_node==y_node) {return 0;} eles {// 不在同一個集合里if(rank[x_node] > rank[y_node]) {parent[y_node] = x_node;} else (rank[x_node] < rank[y_node]) {parent[x_node] = y_node} else {parent[x_node] = y_node; // x_node的父節點在y_node的位置里rank[y_node]++;}return 1;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-树】1.树与森林（树的遍历、树的存储方法、并查集的实现）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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