一、二叉樹的定義及其主要特征

1.1 二叉樹的概念

二叉樹是另一種樹形結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多含兩棵子樹（也就是說，二叉樹的度≤2）。

二叉樹是一種有序樹，若將其左、右子樹顛倒，則成為另一顆不同的二叉樹。

二叉樹可以為空

1.2 二叉樹和度為2的有序樹

在這里要區(qū)分一個(gè)概念，也就是二叉樹和度為2的有序樹之間的區(qū)別。

度為2的樹至少有3個(gè)結(jié)點(diǎn)，而二叉樹則可以是一顆空樹

度為2的有序樹的孩子結(jié)點(diǎn)，左右次序是相對(duì)于另一孩子結(jié)點(diǎn)而言的，若某個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)，則這個(gè)結(jié)點(diǎn)就無須區(qū)分其左右次序。但，二叉樹無論其孩子數(shù)是否為2，均需確定其左右次序，也就是說，二叉樹的孩子結(jié)點(diǎn)的次序是絕對(duì)的。

1.3 幾種特殊的二叉樹

1. 滿二叉樹

一顆高度為h，且含有$2^h?1$個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹就是一顆滿二叉樹。

滿二叉樹的特點(diǎn)：

每一層的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 $2^{h?1}$

葉子結(jié)點(diǎn)之外的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度都是2

葉子結(jié)點(diǎn)都位于同一層

對(duì)整棵樹按從1開始從上到下，自左向右編號(hào)，對(duì)于編號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)，若有雙親，則雙親的位置 $\frac{i}{2}(向下取整)$，若有左孩子，則左孩子的編號(hào)為$2i+1$，若有右孩子，則右孩子的編號(hào)為$2i+2$，

2. 完全二叉樹

設(shè)有一個(gè)高度為h，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)結(jié)點(diǎn)都與高度為h的滿二叉樹中編號(hào)1~n的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)時(shí)，就是一顆完全二叉樹

完全二叉樹的特點(diǎn)：

葉子結(jié)點(diǎn)只可能在層次最大的兩層上出現(xiàn)，且對(duì)于最大層次中葉子結(jié)點(diǎn)都依次排列在該層最左側(cè)的位置

若出現(xiàn)度為1的結(jié)點(diǎn)，有且僅有可能一個(gè)，且只有左孩子

3. 二叉排序樹

一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

若左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

左、右子樹也分別為二叉排序樹；

4. 平衡二叉樹

樹上任一結(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹的深度不大于1

二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)：用一組地址連續(xù)的存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)。滿二叉樹和完全二叉樹使用較為合適。其他樹使用數(shù)組中可能有空結(jié)點(diǎn)

鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)：用指針指向根結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)。二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)一般有三個(gè)域：1. 數(shù)據(jù)域data，2. 左指針域left，3. 右指針域right

struct BinaryTreeNode{int data;BinaryTreeNode *left;BinaryTreeNode *right; };

二叉樹的遍歷

示例樹如下：

1. 先序遍歷

若二叉樹為空，則什么都不做，否則

訪問根結(jié)點(diǎn)

先序遍歷左結(jié)點(diǎn)

先序遍歷右結(jié)點(diǎn)

以先序遍歷方式遍歷示例樹，結(jié)果為：ABDECFG

void preorder(TreeNode *node, int layer) {if(!node) {return;}do something;preorder(node->left, layer + 1);preorder(node->right, layer + 1); }

2. 中序遍歷

若二叉樹為空，則什么都不做，否則

先序遍歷左結(jié)點(diǎn)

訪問根結(jié)點(diǎn)

先序遍歷右結(jié)點(diǎn)

以中序遍歷方式遍歷示例樹，結(jié)果為：DBEAFCG

void inorder(TreeNode *node, int layer) {if(!node) {return;}preorder(node->left, layer + 1);do something;preorder(node->right, layer + 1); }

3. 后序遍歷

若二叉樹為空，則什么都不做，否則

先序遍歷左結(jié)點(diǎn)

先序遍歷右結(jié)點(diǎn)

訪問根結(jié)點(diǎn)

以后序遍歷方式遍歷示例樹，結(jié)果為：DEBFCGA

void postorder(TreeNode *node, int layer) {if(!node) {return;}preorder(node->left, layer + 1);preorder(node->right, layer + 1);do something; }

4. 層次遍歷

要進(jìn)行層次遍歷，需要借助一個(gè)隊(duì)列。先將二叉樹根結(jié)點(diǎn)入隊(duì)，然后出隊(duì)，若它有左子樹，則將左子樹根結(jié)點(diǎn)入隊(duì)；若它有右子樹，則將右子樹根結(jié)點(diǎn)入隊(duì)。然后出隊(duì)，對(duì)出隊(duì)結(jié)點(diǎn)訪問，如此反復(fù)，直到隊(duì)列為空

以層序遍歷方式遍歷示例樹，結(jié)果為：ABCDEFG

void Sequence(TreeNode *node) {queue<TreeNode *> q;q.push_back(node);while(!q.empty()) {TreeNode *root = node;q.pop();} }

反過來討論，給你一個(gè)中序序列和一個(gè)其他遍歷序列能否構(gòu)造出唯一一顆二叉樹。答案是可以的。

如，先序序列：ABDECFG，中序序列：DBEAFCG

先序序列第1個(gè)就是根結(jié)點(diǎn)，那么在中序序列中，以A為界，整個(gè)字符串分為兩節(jié)，分別是DBE和FCG

先序序列第2個(gè)就是其左子樹的根結(jié)點(diǎn)，那么在中序序列中，以B為界，DBE字符串分為兩節(jié)，分別是D和F，在B左邊的就是B的左子樹根結(jié)點(diǎn)，在B右邊的就是B的右子樹的根結(jié)點(diǎn)。

同理推得A的右子樹的根結(jié)點(diǎn)，往復(fù)循環(huán)即可。

線索二叉樹

在二叉樹的結(jié)點(diǎn)上加上線索的二叉樹稱為線索二叉樹，對(duì)二叉樹以某種遍歷方式（如先序、中序、后序或?qū)哟蔚?#xff09;進(jìn)行遍歷，使其變?yōu)榫€索二叉樹的過程稱為對(duì)二叉樹進(jìn)行線索化。

線索鏈表解決了無法直接找到該結(jié)點(diǎn)在某種遍歷序列中的前驅(qū)和后繼結(jié)點(diǎn)的問題，解決了二叉鏈表找左、右孩子困難的問題。

在二叉樹線索化時(shí)，通常規(guī)定：若無左子樹，令lchild指向其前驅(qū)結(jié)點(diǎn)；若無右子樹，令rchild指向其后繼結(jié)點(diǎn)

線索二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)：

struct ThreadBinaryTreeNode{int data;ThreadBinaryTreeNode *lchild; // 指向左孩子結(jié)點(diǎn)ThreadBinaryTreeNode *rchild; // 指向右孩子結(jié)點(diǎn)int ltag; // 0表示結(jié)點(diǎn)的左孩子，1 表示結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)int rtag; // 0表示結(jié)點(diǎn)的右孩子，1 表示結(jié)點(diǎn)的后繼 };

樹轉(zhuǎn)化為二叉樹

樹轉(zhuǎn)換為二叉樹的規(guī)則：每個(gè)結(jié)點(diǎn)左指針指向他的第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)，右指針指向它在樹中的相鄰兄弟結(jié)點(diǎn)，可以表示為 “左孩子右兄弟”。

將樹轉(zhuǎn)換成二叉樹的步驟是：

加線，就是在所有兄弟結(jié)點(diǎn)之間加一條連線；

去線，就是對(duì)樹中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)，只保留他與第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)之間的連線，刪除它與其它孩子結(jié)點(diǎn)之間的連線

調(diào)整，就是以樹的根結(jié)點(diǎn)為軸心，將整棵樹順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使之結(jié)構(gòu)層次分明。

二叉樹轉(zhuǎn)換為樹

二叉樹轉(zhuǎn)換為樹是樹轉(zhuǎn)換為二叉樹的逆過程，其步驟是：

若某結(jié)點(diǎn)的左孩子結(jié)點(diǎn)存在，將左孩子結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)、右孩子結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)……都作為該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)，將該結(jié)點(diǎn)與這些右孩子結(jié)點(diǎn)用線連接起來；

刪除原二叉樹中所有結(jié)點(diǎn)與其右孩子結(jié)點(diǎn)的連線；

整理步驟1和步驟2兩步得到的樹，使之結(jié)構(gòu)層次分明。

森林轉(zhuǎn)化為二叉樹

森林是由若干棵樹組成，可以將森林中的每棵樹的根結(jié)點(diǎn)看作是兄弟，由于每棵樹都可以轉(zhuǎn)換為二叉樹，所以森林也可以轉(zhuǎn)換為二叉樹。

將森林轉(zhuǎn)換為二叉樹的步驟是：

先把每棵樹轉(zhuǎn)換為二叉樹；

第一棵二叉樹不動(dòng)，從第二棵二叉樹開始，依次把后一棵二叉樹的根結(jié)點(diǎn)作為前一棵二叉樹的根結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)，用線連接起來。

當(dāng)所有的二叉樹連接起來后得到的二叉樹就是由森林轉(zhuǎn)換得到的二叉樹。

二叉樹轉(zhuǎn)化為森林

二叉樹轉(zhuǎn)換為森林比較簡(jiǎn)單，其步驟如下：

先把每個(gè)結(jié)點(diǎn)與右孩子結(jié)點(diǎn)的連線刪除，得到分離的二叉樹；（二叉樹→森林）

把分離后的每棵二叉樹轉(zhuǎn)換為樹；（森林中的每棵樹→二叉樹）

整理步驟2得到的樹，使之規(guī)范，這樣得到森林。

二叉樹連接起來后得到的二叉樹就是由森林轉(zhuǎn)換得到的二叉樹。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-树】2.二叉树遍历与线索二叉树（图解+代码）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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