一、圖的基本概念

圖： 圖G是一個有序二元組(V,E)，其中V稱為頂集(Vertices Set)，E稱為邊集(Edges set)，E與V不相交。它們亦可寫成V(G)和E(G)。其中，頂集的元素被稱為頂點(Vertex)，邊集的元素被稱為邊(edge)。

有向圖： 若E是有向邊（也稱弧）的有限集合時，則圖G為有向圖。弧是頂點的有序?qū)?#xff0c;記為 $<v,w>$ ，稱為從頂點v到頂點w的弧。如上圖中（a）：$G_1=(V_1,E_1)||V_1=\{1,2,3\}||E_1=\{<1,2>,<2,1>,<2,3>\}$

無向圖： 若E是無向邊（簡稱邊）的有限集合時，則圖G為無向圖。邊是頂點的無序?qū)?#xff0c;記為 $<v,w>$ ，稱為從頂點v和頂點w的互為鄰接點。如上圖中（b）：$G_1=(V_1,E_1)||V_1=\{1,2,3,4\}||E_1=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4))\}$

簡單圖： 一個圖滿足：① 不存在重復(fù)邊；② 不存在頂點到自身的邊，則稱圖G為簡單圖。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中只討論簡單圖，如圖a,b,c

多重圖： 不滿足簡單圖中兩個條件，則稱為多重圖。

完全圖： 在無向圖中，若任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖為無向完全圖。擁有n個頂點的無向完全圖有 $\frac{n(n?1)}{2}$ 條邊，如圖b

子圖： 設(shè)有兩個圖 $G=(V,E)$ 和 $G_1=(V_1,E_1)$ ，若 $V_1$ 是 $V$ 的子集，且 $E_1$ 是 $E$ 的子集，則稱 $G_1$ 是 $G$ 的子圖。如圖a和c

連通： 若從頂點v到頂點w有路徑存在，則稱v和w是連通的

連通圖： 若圖 $G$ 中任意兩個頂點都是連通的，則稱圖 $G$ 為連通圖，否則稱為非連通圖

連通分量： 無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量

極大連通子圖：

連通圖只有一個極大連通子圖，就是它本身。（是唯一的）

非連通圖有多個極大連通子圖。（非連通圖的極大連通子圖叫做連通分量，每個分量都是一個連通圖

稱為極大是因為如果此時加入任何一個不在圖的點集中的點都會導(dǎo)致它不再連通。

下圖為非連通圖，圖中有兩個極大連通子圖（連通分量）。

極小連通子圖：

一個連通圖的生成樹是該連通圖頂點集確定的極小連通子圖。（同一個連通圖可以有不同的生成樹，所以生成樹不是唯一的）
（極小連通子圖只存在于連通圖中）

用邊把極小連通子圖中所有節(jié)點給連起來，若有n個節(jié)點，則有n-1條邊。如下圖生成樹有6個節(jié)點，有5條邊。

之所以稱為極小是因為此時如果刪除一條邊，就無法構(gòu)成生成樹，也就是說給極小連通子圖的每個邊都是不可少的。

如果在生成樹上添加一條邊，一定會構(gòu)成一個環(huán)。

也就是說只要能連通圖的所有頂點而又不產(chǎn)生回路的任何子圖都是它的生成樹。

總結(jié)來說：極大連通子圖是討論連通分量的,極小連通子圖是討論生成樹的。

強連通圖： 有向圖 $G$ 中， 若對于 $V(G)$ 中任意兩個不同的頂點 $v_i$ 和 $v_j$ ，都存在從 $v_i$ 到 $v_j$ 以及從 $v_j$ 到 $v_i$ 的路徑，則稱圖 $G$ 是強連通圖。如圖c

強連通分量： 有向圖的極大強連通子圖稱為 $G$ 的強連通分量，強連通圖只有一個強連通分量，即是其自身。非強連通的有向圖有多個強連通分量。

生成樹： 連通圖的生成樹是包含圖中所有頂點的一個極小連通子圖。若圖中有n個點，那么生成樹含有n-1條邊，無論消去哪條邊，整個圖就不再連通；而無論在哪兩個頂點加上一條邊，都會形成回路

生成森林： 在非連通圖中，連通分量的生成樹構(gòu)成了非連通圖的生成森林。

頂點的度：（無向圖）該頂點為一個端點的邊的數(shù)目，記為 $TD(v)$。度與邊之比為 $2e:e$

頂點的入度：（有向圖）以頂點v的為終點的有向邊的數(shù)目$ID(v)$

頂點的出度：（有向圖）以頂點v的為起點的有向邊的數(shù)目$OD(v)$

邊的權(quán)和網(wǎng)： 在一個圖中，每條邊都可以標上具有某種含義的數(shù)值，該數(shù)值稱為該邊的權(quán)值；這種邊上帶有權(quán)值的圖稱為帶權(quán)圖，也稱為網(wǎng)

稠密圖： 邊數(shù)很多的圖。一般滿足 $E\ge VlogV$ 的圖稱為稀疏圖

稀疏圖： 邊數(shù)很少的圖。一般滿足 $E<VlogV$ 的圖稱為稀疏圖

路徑： 頂點 $V_p$ 到頂點 $V_q$ 之間的一條路徑是指頂點序列 $V_p$ ， $V_{i1}$ ， $V_{i2}$ ，…， $V_m$ ， $V_p$

路徑長度： 路徑上邊的數(shù)目

回路： 第一個頂點和最后一個頂點相同的路徑

簡單路徑： 頂點不重復(fù)出現(xiàn)的路徑

簡單回路： 除第一個頂點和最后一個頂點外，其余頂點不重復(fù)出現(xiàn)的回路

距離： 從頂點 $V_1$ 到頂點 $V_2$ 的最短路徑若存在，則此路徑的長度稱為從頂點 $V_1$ 到頂點 $V_2$ 的距離

有向樹： 一個頂點的入度為0、其余頂點的入度均為1

二、圖的構(gòu)造

2.1 構(gòu)造鄰接矩陣

不帶權(quán)圖：
$$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若(V1?,V2?)或<V1?,V2?>是圖中的邊}\\ 0,& \text{若(V1?,V2?)或<V1?,V2?>不是圖中的邊}\end{array}$$
帶權(quán)圖：
$$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}{W}_{ij},& \text{若(V1?,V2?)或<V1?,V2?>是圖中的邊}\\ 0或\infty ,& \text{若(V1?,V2?)或<V1?,V2?>不是圖中的邊}\end{array}$$

#include <stdio.h> int main() {const int MAX_N = 5; // 一共有五個頂點 int G[MAX_N][MAX_N] = {}; // 使用鄰接矩陣表示G[0][2] = 1; // 將圖連通且不帶權(quán)G[0][4] = 1; G[1][0] = 1; G[1][2] = 1; G[2][3] = 1; G[3][4] = 1;G[4][3] = 1;printf("G:\n");for(int i=0; i<5; i++) {for(int j=0; j<5; j++) {printf("%d",G[i][j]);}printf("\n"); }return 0; }

注意：

在簡單應(yīng)用中，可直接用二維數(shù)組作為圖的鄰接矩陣

無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣，對規(guī)模特大的鄰接矩陣可采用壓縮存儲。

鄰接矩陣表示法的空間復(fù)雜度為$O(n^2)$，其中n為圖的頂點數(shù)。

圖的鄰接矩陣存儲表示法具有以下特點∶

無向圖的鄰接矩陣一定是一個對稱矩陣（并且唯一）。因此，在實際存儲鄰接矩陣時只需存儲上（或下）三角矩陣的元素.

對于無向圖，鄰接矩陣的第 i 行（或第 i 列）非零元素的個數(shù)態(tài)好是第 i 個頂點的度 TD（v）

對于有向圖，鄰接矩陣的第i行（或第i列）非零元素（或非四元素）的參正好是第i個頂點的出度 OD（v）（或入度ID（v）

用鄰接矩陣法存儲圖，很容易確定圖中任意兩個頂點之間是否有邊相差。但是，要確定圖中有多少條邊，則必須按行、按列對每個元素進行檢測，所花費的時間代價很大。這是用鄰接矩陣存儲圖的局限性。

密圖適合使用鄰接矩陣的存儲表示。

設(shè)圖G的鄰接矩陣為A，$A^n$的元素 $A^n[i][j]$ 等于由頂點 i 到頂點 j 的長度為n的路徑的數(shù)?目。

2.2 鄰接表

我覺得圖比問題更容易理解事物本質(zhì)，所以簡單講一下概念，直接上圖。

所謂鄰接表，是指對圖 G中的每個頂點v建立一個單鏈表，第 i 個單鏈表中的結(jié)點表示依附于頂點 v 的邊（對于有向圖則是以頂點v為尾的弧），這個單鏈表就稱為頂點v的邊表（對于有向圖則稱為出邊表）。

#include <stdio.h> #include <vector> using namespace std;struct GNode{int val;vector<GNode*> neighbors;GNode(int x):val(x) {} }; int main() {int MAX_N = 5; // 五個節(jié)點GNode *Node[MAX_N];for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {Node[i] = new GNode(i);}Node[0]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[0]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[0]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[2]->neighbors.push_back(Node[3]);Node[3]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[4]->neighbors.push_back(Node[3]);printf("Node:\n");for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {printf("Node[%d]:",i);for(int j = 0; j < Node[i]->neighbors.size(); j++) {printf("%d ",Node[i]->neighbors[j]->val);}printf("\n");}for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {delete Node[i];}return 0; }

圖的鄰接表存儲方法具有以下特點∶

若G為無向圖，則所需的存儲空間為 $O(V+2E)$ ;若G為有向圖，則所需的存儲空間為 $O(V+E)$ 。前者的倍數(shù)2是由于無向圖中，每條邊在鄰接表中出現(xiàn)了兩次。

對于稀疏圖，采用鄰接表表示將極大地節(jié)省存儲空間。

在鄰接表中，給定一頂點，能很容易地找出它的所有鄰邊，因為只需要讀取它的鄰接表。?在鄰接矩陣中，相同的操作則需要掃描一行，花費的時間為 O(n)。但是，若要確定給定的兩個頂點間是否存在邊，則在鄰接矩陣中可以立刻查到，而在鄰接表中則需要在相應(yīng)結(jié)點對應(yīng)的邊表中查找另一結(jié)點，效率較低。

在有向圖的鄰接表表示中，求一個給定頂點的出度只需計算其鄰接表中的結(jié)點個數(shù);但?求其頂點的入度則需要遍歷全部的鄰接表。因此，也有人采用逆鄰接表的存儲方式來加速求解給定頂點的入度。當然，這實際上與鄰接表存儲方式是類似的。

圖的鄰接表表示并不唯一，因為在每個頂點對應(yīng)的單鏈表中，各邊結(jié)點的鏈接次序可以?是任意的，它取決于建立鄰接表的算法及邊的輸入次序。

2.3 十字鏈表

十字鏈表是有向圖的另一種鏈式存儲結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)可以看成是將有向圖的鄰接表和逆鄰接表結(jié)合起來得到的。用十字鏈表來存儲有向圖，可以達到高效的存取效果。同時，代碼的可讀性也會得到提升。

頂點結(jié)點：

data域：存放頂點相關(guān)的數(shù)據(jù)信息

firstin域：以該結(jié)點為弧頭（線段上有箭頭的）

firstout域：以該結(jié)點為弧尾（線段上無箭頭的）

弧結(jié)點：

tailvex：指示弧尾（線段上無箭頭的）

headvex：指示弧頭（線段上有箭頭的）

hlink：弧頭相同的下一條弧

tlink：弧尾相同的下一條弧

info：指向該弧的相關(guān)信息

十字鏈表存儲結(jié)構(gòu)：

typedef struct ArcBox // 弧的結(jié)構(gòu)表示 {int tailvex, headvex;InfoType *info;struct ArcBox *hlink, *tlink; } VexNode; typedef struct VexNode // 頂點的結(jié)構(gòu)表示 {VertexType data;ArcBox *firstin, *firstout; } VexNode; typedef struct {VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];// 頂點結(jié)點(表頭向量)int vexnum, arcnum;//有向圖的當前頂點數(shù)和弧數(shù) } OLGraph;

對于十字鏈表的一些認識：

表頭結(jié)點即頂點結(jié)點，與鄰接表一樣是順序存儲。

對于每個頂點結(jié)點之后是與之相關(guān)聯(lián)的弧結(jié)點（該弧結(jié)點中存有弧頭、弧尾），而鄰接表則是一些與頂點結(jié)點相連接的點。

從每個頂點結(jié)點開始有兩條鏈表，一條是以該頂點結(jié)點為弧頭的鏈表，一條是以該頂點結(jié)點為弧尾的鏈表。

對于其中的每一條鏈表必然是從頂點結(jié)點開始，直到與之相關(guān)的弧結(jié)點鏈域headlink和taillink為空是結(jié)束，構(gòu)成一條完整的鏈表。

2.4 鏈表多重表

鄰接多重表存儲無向圖的方式，可看作是鄰接表和十字鏈表的結(jié)合。同鄰接表和十字鏈表存儲圖的方法相同，都是獨自為圖中各頂點建立一張鏈表，存儲各頂點的節(jié)點作為各鏈表的首元節(jié)點，同時為了便于管理將各個首元節(jié)點存儲到一個數(shù)組中。

鄰接多重表各結(jié)點的結(jié)構(gòu)示意圖，如下圖所示：

data：存儲此頂點的數(shù)據(jù)；

firstedge：指針域，用于指向同該頂點有直接關(guān)聯(lián)的存儲其他頂點的節(jié)點。

各鏈表中其他節(jié)點的結(jié)構(gòu)與十字鏈表中相同，如下圖所示：

mark：標志域，用于標記此節(jié)點是否被操作過，例如在對圖中頂點做遍歷操作時，為了防止多次操作同一節(jié)點，mark 域為 0 表示還未被遍歷；mark 為 1 表示該節(jié)點已被遍歷；

ivex 和 jvex：數(shù)據(jù)域，分別存儲圖中各邊兩端的頂點所在數(shù)組中的位置下標；

ilink：指針域，指向下一個存儲與 ivex 有直接關(guān)聯(lián)頂點的節(jié)點；

jlink：指針域，指向下一個存儲與 jvex 有直接關(guān)聯(lián)頂點的節(jié)點；

info：指針域，用于存儲與該頂點有關(guān)的其他信息，比如無向網(wǎng)中各邊的權(quán)；

無向圖的鄰接多重表表示，如下圖所示：

#define MAX_VERTEX_NUM 20 //圖中頂點的最大個數(shù) #define InfoType int //邊含有的信息域的數(shù)據(jù)類型 #define VertexType int //圖頂點的數(shù)據(jù)類型 typedef enum {unvisited,visited}VisitIf; //邊標志域 typedef struct EBox{VisitIf mark; //標志域int ivex,jvex; //邊兩邊頂點在數(shù)組中的位置下標struct EBox * ilink,*jlink; //分別指向與ivex、jvex相關(guān)的下一個邊InfoType *info; //邊包含的其它的信息域的指針 }EBox; typedef struct VexBox{VertexType data; //頂點數(shù)據(jù)域EBox * firstedge; //頂點相關(guān)的第一條邊的指針域 }VexBox; typedef struct {VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];//存儲圖中頂點的數(shù)組int vexnum,degenum;//記錄途中頂點個數(shù)和邊個數(shù)的變量 }AMLGraph;

三、圖的遍歷

3.1 圖的深度優(yōu)先遍歷

從圖中某個頂點v出發(fā)，首先訪問該頂點

然后依次從它的各個未被訪問的鄰接點出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖

直至圖中所有和v有路徑相通且未被訪問的頂點都被訪問到。

若此時尚有其他頂點未被訪問到

則另選一個未被訪問的頂點作起始點，

重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。

#include <stdio.h> #include <vector> using namespace std;struct GNode{int val;vector<GNode*> neighbors;GNode(int x):val(x){} };void DFSGraph(GNode *node, int visit[]) {visit[node->val] = 1; // 標記已訪問的頂點printf("%d ",node->val);for(int i = 0; i < node->neighbors.size(); i++) {if(visit[node->neighbors[i]->val] == 0) {DFSGraph(node->neighbors[i], visit);}} }int main() {int MAX_N = 5;GNode *Node[MAX_N];for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {Node[i] = new GNode(i);}Node[0]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[0]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[0]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[2]->neighbors.push_back(Node[3]);Node[3]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[4]->neighbors.push_back(Node[3]);int visit[MAX_N] = {0};for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {if(visit[i] == 0) { // 沒有標記的頂點才會被訪問 printf("From val(%d): ", Node[i]->val);DFSGraph(Node[i], visit);printf("\n");}}for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {delete Node[i];}return 0; }

時間復(fù)雜度：以鄰接矩陣為例，查找每個頂點的鄰接點所需的時間為 $O(|V|)$，故總的時間復(fù)雜度為 $O(|V{|}^2)$；以鄰接表為例，查找所有頂點的鄰接點所需的時間為$O(|E|)$ ，訪問頂點所需的時間為 $O(|V|)$，故總的時間復(fù)雜度為 $O(|V|+|E|)$

空間復(fù)雜度：需要一個遞歸棧，$O(|V|)$

3.2 圖的廣度優(yōu)先遍歷

從圖中某個頂點v出發(fā)，在訪問了v之后依次訪問v的各個未曾訪問過的鄰接點，

然后分別從這些鄰接點出發(fā)依次訪問它們的鄰接點，

并使得"先被訪問的頂點的鄰接點先于后被訪問的頂點的鄰接點被訪問"，

直至圖中所有已被訪問的頂點的鄰接點都被訪問到。

如果此時圖中尚有頂點未被訪問，

則需要另選一個未曾被訪問過的頂點作為新的起始點，

重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。

#include <stdio.h> #include <vector> #include <queue> using namespace std;struct GNode{int val;vector<GNode*> neighbors;GNode(int x):val(x){} };void BFSGraph(GNode *node, int visit[]) {queue<GNode*> q; // 廣度優(yōu)先搜索使用隊列 q.push(node);visit[node->val] = 1; // 標記已訪問的頂點while(!q.empty()){GNode *temp = q.front();q.pop();printf("%d ",temp->val);for(int i = 0; i < temp->neighbors.size(); i++) {if(visit[temp->neighbors[i]->val] == 0) {q.push(temp->neighbors[i]);visit[temp->neighbors[i]->val] = 1;}} } }int main() {int MAX_N = 5;GNode *Node[MAX_N];for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {Node[i] = new GNode(i);}Node[0]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[0]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[0]);Node[1]->neighbors.push_back(Node[2]);Node[2]->neighbors.push_back(Node[3]);Node[3]->neighbors.push_back(Node[4]);Node[4]->neighbors.push_back(Node[3]);int visit[MAX_N] = {0};for(int i = 0; i < MAX_N; i++) {if(visit[i] == 0) { // 沒有標記的頂點才會被訪問 printf("From val(%d): ", Node[i]->val);BFSGraph(Node[i], visit);printf("\n");}}for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {delete Node[i];}return 0; }

時間復(fù)雜度：以鄰接矩陣為例，查找每個頂點的鄰接點所需的時間為 $O(|V|)$，故總的時間復(fù)雜度為 $O(|V{|}^2)$；以鄰接表為例，在任意頂點的鄰接表，每條邊至少訪問一次，此時時間復(fù)雜度為 $O(|E|)$ ，另外，每個頂點均需搜索一次，此時時間復(fù)雜度為 $O(|V|)$，故總的時間復(fù)雜度為 $O(|V|+|E|)$

空間復(fù)雜度：需要一個輔助隊列Q，最壞的情況下，空間復(fù)雜度為 $O(|V|)$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-图】1.图的构造和遍历（基本理论+代码）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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