最小生成樹：

這個定義有兩個約束：最小和樹

對于樹，從而引出以下三個最小生成樹的特點

在圖中無環

連接所有圖中的點

N個頂點，有N-1條邊

最小：指的是生成這棵樹的邊的權值之和最小

最小生成樹的求取有兩種經典的算法，分別是Prim(普里姆) 算法和Kruskal(克魯斯卡爾)算法

這兩種算法的算法思想都是基于貪心算法的，也就是選擇權值最小的邊，但是這兩種算法的實現方法不同

Prim(普里姆)算法：從頂點出發，優先選擇與連接兩個頂點集合中的權值最小的邊

Kruskal(克魯斯卡爾)算法：直接選擇權值最小的邊

Prim(普里姆)算法

prim算法的核心是實時更新三個列表信息構成的

第一個列表selected，是判斷是否已選頂點，若為true，表示頂點已選，若為false，表示頂點未選，初始為false；

第二個列表minDist，表示兩個點之間的距離，初始為∞（無窮大）；

第三個列表parent，存放它的雙親結點，初始為-1

整個生成過程是，首先（Update）更新列表信息，從列表下標由小到大更新minDist列表

然后（Scan）掃描整個列表，更新parent列表

最后（Add）將選擇的點添加到已選頂點中，也就是更新selected列表

圖示過程

如下圖

第一個列表selected，是判斷是否已選頂點，若為T，表示頂點已選，若為F，表示頂點未選，初始為F；

第二個列表minDist，表示兩個點之間的距離，初始為inf（無窮大）；

第三個列表parent，存放它的雙親結點，初始為-1

與V1相連接的點分別是V2，V3，V4，在列表中minDist和列表parent中更新數據，找到minDist最小且selected列表為F的結點，就是連接結點，即下圖中為V3

與V1，V3相連接的點分別是V2，V4，V5，V6，在列表中minDist和列表parent中更新數據，找到minDist最小且selected列表為F的結點，就是連接結點，即下圖中為V6

與V1，V3，V6相連接的點分別是V2，V4，V5，在列表中minDist和列表parent中更新數據，找到minDist最小且selected列表為F的結點，就是連接結點，即下圖中為V4

與V1，V3，V6，V4相連接的點分別是V2，V5，在列表中minDist和列表parent中更新數據，找到minDist最小且selected列表為F的結點，就是連接結點，即下圖中為V2

與V1，V3，V6，V4，V2相連接的點分別是V5，在列表中minDist和列表parent中更新數據，找到minDist最小且selected列表為F的結點，就是連接結點，即下圖中為V5，是selected列表中的值都為T，生成最小生成樹完畢

Prim算法的時間復雜度 $O(|V{|}^2)$，不依賴于 $|E|$，因此它適用于求解邊稠密的圖的最小生成樹。

代碼提示

void Prim(MGraph g, int v) {//普利姆算法（參數：鄰接矩陣，起點（即第一個生成的點，可隨便取））int lowcost[MAXV], closest[MAXV], i, min, j, k;//賦初值，即將closest數組都賦為第一個節點v，lowcost數組賦為第一個節點v到各節點的權重for (i = 0; i < g.n; i++) {closest[i] = v;lowcost[i] = g.edges[v][i];}//接下來找剩下的n-1個節點（g.n是圖的節點個數）for (i = 1; i < g.n; i++) {min = INF;//遍歷所有節點for (j = 0; j < g.n; j++) {//若該節點還未被選且權值小于之前遍歷所得到的最小值if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) { //更新min的值min = lowcost[j];//記錄當前最小權重的節點的編號k = j;}}//表明k節點已被選了(作標記)lowcost[k] = 0;//遍歷所有節點for (j = 0; j < g.n; j++) {if (g.edges[k][j] != 0 && g.edges[k][j] < lowcost[j]) {//更新lowcost數組，closest數組//更新權重，使其當前最小lowcost[j] = g.edges[k][j];//進入到該if語句里，說明剛選的節點k與當前節點j有更小的權重，則closest[j]的被連接節點需作修改為kclosest[j] = k;}}} }

Kruskal(克魯斯卡爾)算法

把圖中所有的邊和權重放入一個列表，并按權值從小到大排序

從列表中按次序每次選擇一條邊放入圖中（此時邏輯上圖中只有頂點沒有邊）

在放入圖中需要做判斷，圖中是否形成環

若沒有環，則這條邊成為最小生成樹的一條邊

相反，如果加上這條邊后形成了環，那么這邊就被丟棄，繼續將下一條邊放入圖中

重復步驟2到步驟5

直到選擇了n-1條邊，算法完成

圖示過程

存在一張圖，它有6個點和10條邊，如圖a所示，最后完成Kruskal算法后，會有5條邊被選定（即挑選完符合條件的5條邊）。

圖a各邊權值如下，現在將邊和權重放入一個列表，并按權值從小到大排序。

從列表中按次序選擇v1-v3放入圖中，該邊權重為1，此時圖中不存在環，所以V1-V3被選定，且此時邊數為1，如圖b

從列表中按次序選擇v4-v6放入圖中，該邊權重為2，此時圖中不存在環，所以V4-V6被選定，且此時邊數為2，如圖c

從列表中按次序選擇v2-v5放入圖中，該邊權重為3，此時圖中不存在環，所以v2-v5被選定，且此時邊數為3，如圖d

從列表中按次序選擇v3-v6放入圖中，該邊權重為4，此時圖中不存在環，所以v3-v6被選定，且此時邊數為4，如圖e

從列表中按次序選擇v1-v4放入圖中，該邊權重為5，但此時圖中存在環，所以v1-v4不能被選定，且此時邊數仍為4，如圖f

從列表中按次序選擇v3-v4放入圖中，該邊權重為5，但此時圖中存在環，所以v3-v4不能被選定，且此時邊數仍為4，如圖g

從列表中按次序選擇v2-v3放入圖中，該邊權重為5，此時圖中不存在環，所以v2-v3被選定，如圖h，且此時邊數為5，最小生成樹生成完畢

Prim算法的時間復雜度 $O(|E|log|E|)$，因此它適用于求解邊稀疏（頂點較多）的圖的最小生成樹。

代碼提示

/** @Prama:傳進來一個edge和weight列表mapnode，* @Prama:一個結點數v* @return:nums<map<pair<int,int>,int> >，返回一棵最小生成樹*/ stack<map<pair<int,int>,int> > kruskal(nums<map<pair<int,int>,int> > mapnode, int v){// 按weight從小到大排列,也就是map<pair<int,int>,int>中的對應值sort_weight(mapnode);// 最小生成樹的邊棧stack<map<pair<int,int>,int> > ans; int edge=0;// 邊 = 頂點數 - 1;while(edge<v){ans.push_back(nums[i]);edge++;// 有環，將插入的邊去掉，同時掃描下一條邊if (isLoop(ans)) {ans.pop();edge--;}i++;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-图】2.多图详解最小生成树（多图详解+实现代码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。