最短路徑

最短路徑的求取有兩種經(jīng)典的算法，分別是Dijkstra算法和Floyd算法

這Dijkstra算法的算法思想是基于貪心算法的，也就是選擇權(quán)值最小的邊

而Floyd算法的算法思想是根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，不斷迭代取得的

Dijkstra算法：從頂點(diǎn)出發(fā)，優(yōu)先選擇與連接兩個(gè)頂點(diǎn)集合中的權(quán)值最小的邊，求單源最短路徑

Floyd算法：求多源最短路徑，不斷迭代列表中的數(shù)據(jù)

Dijkstra

Dijkstra算法的核心是實(shí)時(shí)更新三個(gè)列表信息構(gòu)成的 —— 這與最小生成樹中的Prim算法相似

第一個(gè)列表visited，是判斷是否已選訪問過改點(diǎn)，若為true，表示頂點(diǎn)已被訪問，若為false，表示頂點(diǎn)未被訪問，初始為false；

第二個(gè)列表minDist，表示兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，初始為∞（無窮大）；

第三個(gè)列表parent，存放它的雙親結(jié)點(diǎn)，初始為-1

整個(gè)生成過程是，首先（Update）更新列表信息，從列表下標(biāo)由小到大更新minDist（記錄整個(gè)路徑長(zhǎng)度）列表

然后（Scan）掃描整個(gè)列表，更新parent列表

最后（Add）將選擇的點(diǎn)添加到已選頂點(diǎn)中，也就是更新visited列表

圖示過程

有如下圖，共有5個(gè)頂點(diǎn)，10條邊，邊的權(quán)值如下

首先選擇頂點(diǎn)1，更新visited，頂點(diǎn)1的visited的值為T（Add）。

與此同時(shí)，與頂點(diǎn)1相連接的頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)5，邊權(quán)分別為10和5。因?yàn)?0和5均小于inf（Update），所以更新minDist列表中頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)5兩個(gè)部分，同時(shí)需要將頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)5的parent列表更新為1（Scan）如下圖

由于權(quán)邊5<10，頂點(diǎn)5的列表visited的值為F，所以更新visited，使頂點(diǎn)5的visited的值為T（Add）。

與此同時(shí)，與頂點(diǎn)1、頂點(diǎn)5相連接的頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)2、頂點(diǎn)3和頂點(diǎn)4，邊權(quán)分別為10，3，9，2。因?yàn)?和2均小于inf,權(quán)值3小于權(quán)值10（Update），所以更新minDist列表中頂點(diǎn)2、頂點(diǎn)3和頂點(diǎn)4三個(gè)部分，同時(shí)需要將頂點(diǎn)2、頂點(diǎn)3和頂點(diǎn)4的parent列表更新為5（Scan）

由于權(quán)邊在標(biāo)綠色的權(quán)邊，2最小，頂點(diǎn)4的列表visited的值為F，所以更新visited，使頂點(diǎn)4的visited的值為T（Add）。

與此同時(shí)，與頂點(diǎn)1、頂點(diǎn)5和頂點(diǎn)4相連接的頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)2、頂點(diǎn)3，邊權(quán)分別為10，3，9，6，7。此時(shí)權(quán)值最短路徑即為當(dāng)前最短，不需要更新（Update），在最短路徑不需要更新的情況下，parent列表也不需要更新（Scan）如下圖

由于權(quán)邊在標(biāo)綠色的權(quán)邊，3最小，頂點(diǎn)2的列表visited的值為F，所以更新visited，使頂點(diǎn)2的visited的值為T（Add）。

與此同時(shí)，與頂點(diǎn)1、頂點(diǎn)5、頂點(diǎn)4和頂點(diǎn)2相連接的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)3，邊權(quán)分別為10，9，6，1。此時(shí)權(quán)值最短路徑即為當(dāng)前最短，不需要更新（Update），在最短路徑不需要更新的情況下，parent列表也不需要更新（Scan）如下圖

由于權(quán)邊在標(biāo)綠色的權(quán)邊，1最小，頂點(diǎn)3的列表visited的值為F，所以更新visited，使頂點(diǎn)3的visited的值為T（Add）。

與此同時(shí)，所有頂點(diǎn)相連接，由于權(quán)值1<權(quán)值9（Update），所以更新minDist列表中頂點(diǎn)3這個(gè)部分，同時(shí)需要將頂點(diǎn)3的parent列表更新為2（Scan）如下圖

Floyd

Floyd算法的基本思想是：遞推產(chǎn)生兩個(gè)n階方陣序列，一個(gè)方陣D是： $D^{(?1)},D^{(A)},D^{(B)},D^{(C)},\dots ,D^{(n)}$，其中 $D^{(n)}[i][j]$ 用以記錄從頂點(diǎn) $v_i$ 到頂點(diǎn) $v_j$ 的路徑長(zhǎng)度，n表示操行結(jié)點(diǎn)n的運(yùn)算步驟；另一個(gè)方陣S是 $S^{(?1)},S^{(A)},S^{(B)},S^{(C)},\dots ,S^{(n)}$,其中 $S^{(n)}[i][j]$ 用以記錄從頂點(diǎn) $v_i$ 到頂點(diǎn) $v_j$ 的路徑上的下一個(gè)點(diǎn)，n表示操行結(jié)點(diǎn)n的運(yùn)算步驟。

初始情況，若兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在邊，在方陣D記錄邊的權(quán)值，若不存在直接聯(lián)系，就記錄為inf；方陣S記錄路徑上的下一個(gè)點(diǎn)，初始狀態(tài)就是該點(diǎn)本身。

解釋：$D^{(A)}[i][j]$ 表示從頂點(diǎn) $v_i$ 到頂點(diǎn) $v_j$必經(jīng)過結(jié)點(diǎn)A

存在一個(gè)圖由3個(gè)頂點(diǎn)和5條有向邊組成，初始狀況下的方陣D和方陣S如下：

由圖可知

從A到B，從A到C都可以直接到達(dá)；

從B到A可以直接到達(dá)，從B到A到C的權(quán)值和 $BA+AC=10+13=23$ 大于4，所以不更新；

從C到A可以直接到達(dá)，從C到A到，此時(shí)權(quán)值為 $CA+AB=5+6=11$，因?yàn)?$11<inf$，所以更新方陣D橫軸為C縱軸為B這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，$inf\to 11$

與此同時(shí)，需要更改方陣S橫軸為C縱軸為B這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，B→A

由圖可知

從A到B可以直接到達(dá)和從A到B到C的權(quán)值和為 $AB+BC=6+4=10$ 小于13，所以更新方陣D橫軸為A縱軸為C這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，$13\to 10$ ；

與此同時(shí)，需要更改方陣S橫軸為A縱軸為C這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，C→B

從B到A，從B到C均可以直接到達(dá)，所以不更新；

從C到B到A，此時(shí)權(quán)值為 $inf+BA=inf$，因?yàn)?$5<inf$，所以不更新；從C到B不直達(dá)，所以 $11<inf$，所以不更新

由圖可知

從A到C到B的權(quán)值和為 $AC+CB=13+inf=inf$ 大于于6，所以不需要更新；從A到C可以直接到達(dá)，不需要更新

與此同時(shí)，需要更改方陣S橫軸為A縱軸為C這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，C→B

從B到C到A的權(quán)值和為 $BC+CA=4+5=9$ 小于10，需要更改方陣D橫軸為B縱軸為 A1個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，$10\to 9$，從B到C均可以直接到達(dá)，所以不更新；

與此同時(shí)，需要更改方陣S橫軸為B縱軸為A這個(gè)方格中的數(shù)據(jù)，A→C

從C到A可以直接到達(dá)，不需要更新；從C到B不直達(dá)，所以 $11<inf$，所以不更新

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-图】3.图的最短路径的几种算法（图解+演绎）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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