一、拓撲排序

1.1 基本知識

有向無環(huán)圖：一個有向圖中不存在環(huán)，簡稱DAG圖

AOV網(wǎng)：用DAG圖表示一個工程，其頂點表示活動，用有向邊 $<V_i,V_j>$ 表示活動 $V_i$ 必須先于活動 $V_j$ 進行的這樣一種關(guān)系。

在AOV網(wǎng)中，活動 $V_i$ 是活動 $V_j$ 的先行活動，活動 $V_k$ 是活動 $V_i$ 的先行活動，則活動 $V_k$ 必是活動 $V_j$ 的先行活動，這種先行關(guān)系具有傳遞性

AOV網(wǎng)不具有唯一性

1.2 求拓撲排序的基本思想

從有向圖中選一個無前驅(qū)（入度為0）的頂點輸出

將此頂點和以它為起點的弧刪除

重復(fù)步驟1和步驟2，直到不存在無前驅(qū)的頂點

若此時輸出的頂點數(shù)小于有向圖中的頂點數(shù)，則說明有向圖中存在回路，否則輸出的頂點的順序即為一個拓撲序列。

1.3 圖示過程

如圖a，V1的入度為0，V2的入度為1，V3的入度為2，V4的入度為2，V5的入度為2，所以將V1取出，如圖b

如圖b，V2的入度為0，V3的入度為2，V4的入度為1，V5的入度為2，所以將V2取出，如圖c

如圖c，V3的入度為1，V4的入度為0，V5的入度為2，所以將V4取出，如圖d

如圖d，V3的入度為0，V5的入度為1，所以將V3取出，如圖e

如圖e，V5的入度為0，所以將V5取出，如圖f

此時沒有其他頂點了，整個拓撲排序為：{V1，V2，V4，V3，V5}

1.4 算法思想

求所有頂點的入度，可以附設(shè)一個存放各頂點入度的數(shù)組indegree[]

把所有入度為0的頂點入隊列或棧

當(dāng)棧或隊列不空時

出棧或出隊列頂點為u，輸出頂點u

頂點u的所有鄰接點入度減一，如果有入度為O的頂點，則入棧或入隊

若此時輸出的頂點數(shù)小于有向圖中的頂點數(shù)，則說明有向圖中存在回路，否則輸出的頂點的順序即為一個拓撲序列。

二、關(guān)鍵路徑

2.1 基本知識

AOE網(wǎng)：在帶權(quán)有向圖圖中，以頂點表示事件，以有向邊表示活動，以邊上的權(quán)值表示完成該活動的開銷（比如完成活動的時間）

AOE網(wǎng)的性質(zhì)：

只有在某頂點所代表的事件發(fā)生后，從該頂點出發(fā)的各有向邊所代表的活動才能開始

只有在進入某一頂點的各有向邊所代表的活動都已結(jié)束時，該頂點所代表的事件才能發(fā)生

2.2 求關(guān)鍵路徑的基本思想

$ve(V_i)$：表示事件 $V_i$ 的最早發(fā)生時間

該時間是指從開始頂點 $V$ 到頂點 $V_i$ 的最長路徑，事件的最早發(fā)生時間決定了所有從 $V_i$ 開始的活動能夠開工的最早時間。可用下面的遞推公式來計算∶
$$ve(V_i)=\underset{i}{\max }\{ve(V_i)+w_{i,j}\}(w_{i,j}表示<V_i,V_j>上的權(quán)值)$$

$vl(V_i)$：表示事件 $V_i$ 的最晚發(fā)生時間

該時間是指在不推遲整個工程完成的前提下，即保證它所指向的事件 $V_i$ ，即保證它所指向的事件 $V_i$ 在 $ve(V_i)$ 時刻能夠發(fā)生時，該事件最遲必須發(fā)生的時間。可用下面的遞推公式來計算∶
$$ve(V_i)=\underset{j}{\min }\{vl(V_j)?w_{i,j}\}$$

$e(V_i)$：表示事件 $V_i$ 的最早開始時間

該時間是指該活動的起點所表示的事件最早發(fā)生的時間。若邊 $<V_i,V_k>$ 表示活動 $a_i$，則有如下公式
$$e(V_i)=ve(V_j)$$

$l(V_i)$：表示事件 $V_i$ 的最晚開始時間

該時間是指該活動的終點所表示事件的最遲發(fā)生時間與該活動所需時間之差。若邊 $<V_i,V_j>$ 表示活動 $a_i$，則有如下公式
$$l(V_i)=vl(V_k)?w_{j,k}$$

一個活動 $a_i$ 的最遲開始時間 $l(V_i)$ 和其最早開始時間 $e(V_i)$ 的差額 $d(i)=l(V_i)?e(V_i)$

它是指該活動完成的時間余量，即在不增加完成整個工程所需總時間的情況下，活動 $a_i$ 可以拖延的時間。若一個活動的時間余量為零，則說明該活動必須要如期完成，否則就會拖延完成整個工程的進度，所以稱 $l(V_i)?e(V_i)=0$ 即 $l(V_i)=e(V_i)$ 的活動 $a_i$ 是關(guān)鍵活動。

2.3 求關(guān)鍵路徑的算法步驟

求 AOE 網(wǎng)中所有事件的最早發(fā)生時間 $ve(V_i)$

求 AOE 網(wǎng)中所有事件的最遲發(fā)生時間 $vl(V_i)$

求 AOE 網(wǎng)中所有活動的最早開始時間 $e(V_i)$

求 AOE 網(wǎng)中所有活動的最遲開始時間$l(V_i)$

求 AOE 網(wǎng)中所有活動的差額 $d()$ ，找出所有 $d()=0$ 的活動構(gòu)成關(guān)鍵路徑。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-图】4.拓扑排序和关键路径（注解+原理）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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