小波基函數和濾波系數

小波分析及其應用 Wavelet Analysis andIt’s Applications同濟大學 計算機系宣國榮 2003年 6月10日 研究生講座(2009年11月10日 補充 附錄4) 研究生講座：小波分析及其應用 1、小波的特點和發展 2、小波分析在一維信號處理中的應用 3 、小波分析在圖象分析中的應用 圖象特征抽取 圖象壓縮 數據隱藏和圖象水印 1、小波的特點和發展 小波的時間和頻率特性 運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。 時間：提取信號中“指定時間”(時間A或時間B)的變化。顧名思義，小波在某時間發生的小的波動。 頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。 小波的成就 小波分析是純數學、應用數學和工程技術的完美結合。從數學來說是大半個世紀“調和分析”的結晶(包括傅里葉分析、函數空間等)。 小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破，預示著小波分析進一步熱潮的到來。 多分辨度分析(MRA) 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論，統一了幾個不相關的領域：包括語音識別中的鏡向濾波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時波形處理等。 當在某一個分辨度檢測不到的現象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。例如： 小波的3 個特點 小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發生的時間。有利于分析確定時間發生的現象。(傅里葉變換只具有頻率分析的性質) 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取(圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等) 小波變換比快速Fourier變換還要快一個數量級。信號長度為M時， Fourier變換(左)和小波變換(右)計算復雜性分別如下公式： 小波基表示發生的時間和頻率 “時頻局域性” 圖解：Fourier變換的基(上)小波變換基(中) 和時間采樣基(下)的比較 Haar小波基母函數 Haar小波的基函數 第 1 行基函數是取平均(近似)， 第 2-8 行基函數是取變化(細節)。 細節包括變化速率和發生的時間。 小波分析發展歷史 1807年 Fourier 提出傅里葉分析 ， 1822年發表 “熱傳導解析理論”論文 1910年 Haar 提出最簡單的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論(MRA)，統一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關的領域。 小波基可以通過給定濾波系數生成 小波基函數和濾波系數(Haar--正交，對稱) 小波基函數和濾波系數(db 2--正交，不對稱 ) 小波基函數和濾波系數(db 4--正交，不對稱) 小波基函數和濾波系數(sym 4--正交，近似對稱) 小波基函數和濾波系數(bior 2.4 –雙正交，對稱) 小波基函數和濾波系數(bior 6.8 –雙正交，對稱) 2、小波分析在一維信號處理中的應用 小波變換就是將 “ 原始信號 s ” 變換 成 “ 小波 系數 w ” ，w=[wa , wd] 包括近似(approximation)系數wa 與細節(detail)系數wd 近似系數wa---平均成分(低頻) 細節系數wd---變化成分(高頻) 小波原始信號分解過程： 原始信號s可分解成小波近似 a 與小波細節d 之和。 s = a+d 小波系數 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以 基函數，形成小波分解： 小波近似系數wa ×基函數A=近似分解 a ---平均 小波細節系數wd ×基函數D=細節分解 d---變化 小波分解和小波基 離散小波變換公式 信號 s 有M個樣本，J 級小波變換： 正變換 反變換 其中： 是小波基函數 參考“數字圖象處理”英文版,電子工業出版社,2002年 (R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processin

總結

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