模運算

幾乎所有的加密算法都基于有限個元素的運算，而我們習慣的絕大多數數集都是無窮的。

模運算是在有限個整數集中執行算術運算的簡單方法。

模運算的定義

假設a, r, m∈Z(其中Z是所有整數的集合)，并且m＞0。如果m除a-r, 可記作：
a≡r mod m
其中m稱為模數，r稱為余數。

余數的計算

總可以找到一個a∈Z，使得a=q×m+r。其中0≤r<m。也就是：a≡ r mod m。

余數不唯一

對任意給定的模數m和整數a，可能同時存在無數多個有效的余數。
例如：12≡3 mod 9,12≡21 mod 9,12≡-6 mod 9。

等價類中的所有成員的行為等價

對于一個給定模數m，選擇等價類中任意一個元素用于計算的結果都一樣。所以在固定模數的計算中，我們可以選擇等價類中最易于計算的一個元素。

余數的選擇問題

一般來說，我們會選擇r滿足0≤r<m-1條件的。但從數學角度看，選哪個都一樣。

整數環

設有這樣一個整數集合，它由0到m-1的整數，及這些整數之間的加法和乘法得到的數所組成。該整數集合對應的數學結構可以用環來表示。

整數環的定義

環的特征

如果環內任意兩個數相加或相乘得到的結果始終在環內，則這個環就是封閉的。

加法和乘法滿足結合性。即a＋(b+c)=(a＋b)＋c。a×(b×c)=(a×b)×c。

加法中存在中性元素0，使得任意a都有a＋0≡a mod m。

環中任何元素a都存在一個負元素-a，使得a＋(-a)≡0 mod m。即加法逆元始終存在。

乘法中存在中性元素1，使得任意a都有a×1≡a mod m。如果a的乘法逆元存在，則可以做除法：b/a≡b×a^-1 mod m。

找出某個元素的逆元比較困難，一般采用歐幾里得算法，但也有一種簡單的方法可以用來判斷a的逆元是否存在：gcd(a,m)=1則a存在逆元。

分配法則成立，即a×(b+c)=(a×b)＋(a×c)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模运算与整数环的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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