模運算

幾乎所有的加密算法都基于有限個元素的運算，而我們習慣的絕大多數(shù)數(shù)集都是無窮的。

模運算是在有限個整數(shù)集中執(zhí)行算術運算的簡單方法。

模運算的定義

假設a, r, m∈Z(其中Z是所有整數(shù)的集合)，并且m＞0。如果m除a-r, 可記作：
a≡r mod m
其中m稱為模數(shù)，r稱為余數(shù)。

余數(shù)的計算

總可以找到一個a∈Z，使得a=q×m+r。其中0≤r<m。也就是：a≡ r mod m。

余數(shù)不唯一

對任意給定的模數(shù)m和整數(shù)a，可能同時存在無數(shù)多個有效的余數(shù)。
例如：12≡3 mod 9,12≡21 mod 9,12≡-6 mod 9。

等價類中的所有成員的行為等價

對于一個給定模數(shù)m，選擇等價類中任意一個元素用于計算的結果都一樣。所以在固定模數(shù)的計算中，我們可以選擇等價類中最易于計算的一個元素。

余數(shù)的選擇問題

一般來說，我們會選擇r滿足0≤r<m-1條件的。但從數(shù)學角度看，選哪個都一樣。

整數(shù)環(huán)

設有這樣一個整數(shù)集合，它由0到m-1的整數(shù)，及這些整數(shù)之間的加法和乘法得到的數(shù)所組成。該整數(shù)集合對應的數(shù)學結構可以用環(huán)來表示。

整數(shù)環(huán)的定義

環(huán)的特征

如果環(huán)內任意兩個數(shù)相加或相乘得到的結果始終在環(huán)內，則這個環(huán)就是封閉的。

加法和乘法滿足結合性。即a＋(b+c)=(a＋b)＋c。a×(b×c)=(a×b)×c。

加法中存在中性元素0，使得任意a都有a＋0≡a mod m。

環(huán)中任何元素a都存在一個負元素-a，使得a＋(-a)≡0 mod m。即加法逆元始終存在。

乘法中存在中性元素1，使得任意a都有a×1≡a mod m。如果a的乘法逆元存在，則可以做除法：b/a≡b×a^-1 mod m。

找出某個元素的逆元比較困難，一般采用歐幾里得算法，但也有一種簡單的方法可以用來判斷a的逆元是否存在：gcd(a,m)=1則a存在逆元。

分配法則成立，即a×(b+c)=(a×b)＋(a×c)。

總結

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