創新實訓團隊記錄 : 為BR-MTC問題設計近似算法

• 閱讀書籍和論文
• 近似算法設計思路變化總結
• • 算法框架
  • 改變初始頂點集
  • 繼續添加路徑，作為新的初始頂點集
• 程序驗證
• • 近似解與最優解存在差距&&優化后的近似解比優化前更逼近最優解
  • • 構建最優解已知的圖
    • 比較最優解和近似解（優化前、后）
  • 優化效果在什么時候達到最好

閱讀書籍和論文

《computational complexity》

• chapter 1、2 P versus NP（季煒丹）

《approximate algorithms》

• chapter 1 Introduction 近似比、最大匹配和最小點覆蓋（季煒丹）
• chapter 2 Set Cover 分層技術求解頂點覆蓋問題（劉忠航）
• chapter 3 Steiner Tree and TSP 斯坦納樹和旅行商問題（孫凡雯）
• chapter 4 Multiway Cut and k-Cut 最小割和K割問題（黃舒漪）
• chapter 5 k-center k-中心問題（季煒丹）
• chapter 6 Feedback Vertex Set 反饋頂點集問題（劉忠航）
• chapter 7 Shortest Superstring 最短超串問題（孫凡雯）
• chapter 8 Knapsack 背包問題的多項式時間近似解（黃舒漪）

“A 2+ε approximation algorithm for the k-MST problem”

近似算法設計思路變化總結

算法框架

• 1). 輸入：輸入一個給定的加權無向圖 $G=(V,E)$ ，在圖的結點中給定一個根結點$r\in V$，并且給定一個最大的預算范圍B
• 2). 初始化：$V_{new}=$ {$r$}, $E_{new}=$ { }為空；
• 3). 重復下列操作，直到$V_{new}=V$:
  • a. 在集合E中選取權值最小的邊$<u,v>$，其中$u$為集合$V_{new}$ 中的元素，而$v$不在集合$V_{new}$ 當中，并且$v\in V$（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
  • b.將$v$加入集合$V_{new}$中，將$<u,v>$邊加入集合$E_{new}$中；
  • c.將集合$E_{new}$中的邊權值相加，未超過B則返回步驟a；超過B，則將新加入的邊移出集合$E_{new}$中，跳出循環；
• 4). 輸出：使用集合$V_{new}$和$E_{new}$來描述所得到的包含根節點r的子樹。

改變初始頂點集

優化步驟2). 初始化：$V_{new}=$ {$r$}, $E_{new}=$為空
優化：分成兩步

• 一、計算根節點$r$到其他所有節點的最短路徑，得到$n?1$條最短路徑，每一條最短路徑的頂點集和邊集用$V_{shortest},E_{shortest}$;
• 二、基于初態頂點集$V_{shortest}$、邊集$E_{shortest}$找子樹，對比子樹頂點數，選取最優子樹

一、計算根節點$r$到其他所有節點的最短路徑，得到$n?1$條最短路徑，每一條最短路徑的頂點集和邊集用$V_{shortest},E_{shortest}$；

• 1). 將根節點$r$作為初始點，看作一個集合，其他$n?1$個點看作一個集合；
• 2). 根據初始點，求出其它點到初始點的距離$d[i]$（若相鄰，則$d[i]$為邊權值；若不相鄰，則$d[i]$為$\infty$）
• 3). 選取最小的$d[i]$加入$E_{shortest}$(記為$d[x]$)，并將此$d[i]$邊對應的點(記為$x$)加入集合$V_{shortest}$；
• 4). 再根據$x$，更新跟 $x$ 相鄰點 $y$的 $d[y]$值：$d[y]=min${$d[y],d[x]+w[x][y]$}，即松弛操作；
• 5). 重復3)、4)，直到所有頂點都在集合$V_{shortest}$內，$d[i]$即為一條最短路徑；

二、基于初始頂點集$V_{shortest}$找子樹，對比子樹頂點數，選取最優子樹

• 1). 對于每一條最短路徑得到的初始頂點集$V_{shortest}$和初始邊集$E_{shortest}$，我們進行之前找子樹的操作，共$n?1$次循環，得到$n?1$棵子樹；
• 2). 比較$n?1$棵子樹的頂點數，選擇最多頂點數的子樹，作為我們的輸出結果

繼續添加路徑，作為新的初始頂點集

我們認為對于步驟2)，仍可以繼續優化。
目前我們已經有$n?1$條最短路徑作為$n?1$個初始頂點集，基于不同的頂點集得到不同的子樹，得到$n?1$棵子樹，選擇$n?1$棵子樹中頂點數最多的作為輸出結果；我們可以添加其他的路徑作為新的初始頂點集，如果基于這種頂點集得到的子樹頂點數更多，我們就達到了優化效果。
至于，選擇添加怎樣的路徑作為新的初始頂點集，我們提供了一種思路。

• 我們選擇某些“具有代表性”的點，構成集合$V_{represent}$;如何選擇：
  • 1). 我們設置參數：大邊值$bigdis$，邊數$num$，小邊值$smalldis$；
  • 2). 先遍歷所有邊找到$weight\ge bigdis$的邊；放在集合$E_{big}$；
  • 3). 遍歷集合$E_{big}$中所有邊的左右端點，放在集合$V_{big}$；
  • 4). 遍歷集合$V_{big}$中所有點的所有“覆蓋”的邊，如果對于集合中的一個點$v$，所有“覆蓋”的邊中$weight\le smalldis$的邊數超過$num$，那么我們將這個點$v$加入集合$V_{represent}$；
• 將根節點$r$加入集合$V_{represent}$，計算集合$V_{represent}$內所有頂點的steiner tree，形成初始頂點集$V_{represent}$和初始邊集$E_{represent}$

程序驗證

近似解與最優解存在差距&&優化后的近似解比優化前更逼近最優解

BR-MTC問題，顯然，當 $B$等于圖 $G$ 最小生成樹的權重之和時，該最小生成樹是該問題的解。而當預算$B$ 是作為問題輸入給定的一個新參數，這使問題具有了 $NP$ 性。當$P=NP$ 成立時，對于該類問題，不存在多項式時間內求得精確解的算法。
但是我們需要用程序驗證，最優解和近似解的差距，于是我們在這里考慮逆向思維。我們通過構造出最優解已知的圖，基于這樣的圖運行近似算法。

構建最優解已知的圖

• 1). 給定參數$V、E$，最大權值$maxCost$，障礙分支個數$h$；
• 2). 計算出一個障礙分支所需要的點數$v1$和邊數$e1$，(我們定義下圖為障礙分支)，藍色部分為$(v2,e2)$；
• 3). 根據剩余的頂點數$v’=V?v1$和$e’=E?e1$，隨機生成圖$G=(v’,e’)$，并求出圖$G$的最小生成樹，最小生成樹的耗費加上障礙分支（藍色部分）的耗費（即$e2$）為障礙圖的預算；
• 4). 最小生成樹上加入障礙分支，得到障礙圖$G’=(v’+v1?h,e’+e1?h)$，輸出障礙圖$G’$，預算$B’$；
• 5). 此時，最優解就是$v’+v2?h$
  

比較最優解和近似解（優化前、后）

從下圖可以看出：

• 1). 紅色線與綠、藍色線存在差距，即最優解與近似解存在差距；
• 2). 綠色線是優化后的近似解，永遠在藍色線上方，甚至有時候與紅色線重合；即優化后得到的近似解比優化前得到的近似解更加接近最優解；

以上兩點都符合我們的預期。

以下是舉幾個例子：

優化效果在什么時候達到最好

給定頂點500-1500，間隔100，預算為400，500，600，700；縱坐標是優化前后的頂點數差值，即優化效果的直觀體現

• 1). 當頂點數為800時，預算400的紅色線優化效果較好；
• 2). 當頂點數為1200時，預算600的綠色線優化效果較好；
• 3). 當頂點數為1400時，預算700的黃色線優化效果較好；

可以看出，預算與頂點數的比值在50%左右，優化效果最好

總結

以上是生活随笔為你收集整理的创新实训团队记录：为BR-MTC问题设计一个近似算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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