創新實訓個人記錄：metric k-center

• 一些概念
• • k-center（k-中心）
  • dominating set(支配集)
  • independent set(獨立集)
  • 獨立集&&支配集
  • k-中心&&支配集
  • square of graph （$H^2$）
• 開始證明
• • dom(H)的下限（$H$的支配集&&$H^2$的獨立集）
  • 算法
  • 近似比
  • 近似比最優證明

一些概念

k-center（k-中心）

問題來源：給定n個具有指定城市間距離的城市，選擇其中k個城市來放置倉庫，以最大程度地減少城市與其最近的倉庫之間的最大距離。我們在metric的情況下考慮這個問題，即，滿足三角不等式；不然的話，找不到一個近似因子α（n），α（n）是任意可計算的函數（第4章有講到這個證明）。輸入<G,k,d>，是否能找到一個集合，最多k個頂點，使剩下n-k個頂點與這k個頂點的最大距離≤d；是一個NP-hard問題。

“最小化”“最大的”“最小距離”：先講“最小距離”，我們已經確定了k個城市作為倉庫，那么對于剩下的n-k個城市中的每一個城市，與這k個城市，有一個最小距離，比如城市A，與這k個城市之間的城市B距離最小，那么城市A與城市B的距離就叫做城市A與這k個城市的最小距離；
然后是“最大的”，對于n-k個城市的每一個城市，有一個對于自己的最小距離，那放到這n-k個城市里考慮，就有n-k個最小距離，在這n-k個距離中最大的，即“最大的”“最小距離”；
最后是“最小化”，對于這n-k個最小距離中最大的距離，進行最小化處理。

數學符號表示：令G =（V，E）是一個完全的無向圖，邊成本滿足三角不等式，而k是一個正整數。 對于任何集合S?V和頂點v∈V，將connect（v，S）定義為從v到S中頂點的最便宜邊的成本。問題是要找到一個集合S?V，且|S|= k，以便最小化$ma{x}_v${connect(v,S)}。即我們可以寫成 minimizing $\underset{v\in \mathcal{V}}{\max }\underset{s\in \mathcal{S}}{\min }f(x)$

dominating set(支配集)

概念：支配集就是一個點集，在這個圖里，除去這個點集外的所有頂點，都與這個點集中至少一個頂點相連。

看這個圖，就可以理解支配的概念。
比如圖(a)，紅色的頂點就是支配集，所有白色的頂點都連著紅色的頂點，所以我們稱紅色頂點支配著白色頂點，稱為支配集。支配集問題，就是對于一個給定的圖G和一個數k，我們能不能找到一個最小支配集的頂點數≤k。這個問題已經被證明是NP難問題了。我們再看圖(b)、(c )，這兩個圖就是找到了最小支配集的情況，我們可以知道此時對于這個圖來說，最小支配集的最大大小k為2。

數學符號表示：對于圖H，最小支配集的頂點數用dom(H)表示。

輸入<G,k>，能否找到一個頂點數≤k的支配集，是個NP-complete問題。

independent set(獨立集)

對于一個圖H，它的獨立集，就是這個集合中任意兩個頂點不相鄰。
maximal independent set: 極大獨立集，不是任何獨立集的子集；就是對于目前這種狀況，不能再加點進入獨立集了。
maximum independent set: 最大獨立集，就是頂點數最多的獨立集。
maximum independent set problem: 是否能找到最大獨立集。這是一個NP-hard問題。

獨立集&&支配集

通過定義，我們可知極大（maximal）獨立集是一個支配集。

證明：對于一個極大獨立集$I$，如果存在點$v$沒有被獨立集$I$支配，，即點$v$和獨立集$I$之間沒有邊，那么我們可以把點$v$加入獨立集$I$形成一個更大的獨立集$I^{\prime }$，這與$I$是極大獨立集矛盾。所以我們可推：極大獨立集$I$是一個支配集。

k-中心&&支配集

我們可以把k-center問題轉化成dominating set問題。
前提：把圖G的邊排序，以不降序的順序排，即$cost(e_1)\le cost(e_2)\le \dots \dots \le cost(e_n)$，讓$G_i=(V,E_i)$，其中$E_i=e_1,e_2,\dots \dots e_i$。
轉化：我們可以把k-中心問題看作，找最小的索引i，使得$G_i$有一個size≤k的支配集。如果$i^{?}$是我們找到的最小索引，那么$cost(e_{i^{?}})就是$對于k-中心問題的最優解，即我們找到的“最小的 最大的 最小距離”，用OPT表示。
畫圖舉例：

以上圖為例，來討論k中心問題，支配集問題，以及轉化關系。

• k中心問題：輸入<G,k,d>，是否能找到一個集合，最多k個頂點，使剩下n-k個頂點與這k個頂點的最大距離≤d。我們輸入<G,2,3>：不考慮d時，我們有支配集<A,C>、<A,D>、<A,E>；

  • 對于<A,C>，剩下的6-2=4個城市，到這2個城市的最大的最小距離是：max(BA,DC,EA,FA)=EA=2;
  • 對于<A,D>，剩下的6-2=4個城市，到這2個城市的最大的最小距離是：max(BA,CD,EA,FA)=EA=2;
  • 對于<A,E>，剩下的6-2=4個城市，到這2個城市的最大的最小距離是：max(BA,CA,DE,FA)=DE=4;

  對于此題，我們設置d=3，我們找到的滿足題意的集合是<A,C>、<A,D>。

• 支配集問題：輸入<G,k>，是否能找到一個頂點數≤k的支配集。我們輸入<G,2>，有支配集<A,C>、<A,D>、<A,E>。

• k中心問題轉化成有附加條件的支配集問題：找最小的索引i，使得$G_i$有一個size≤k的支配集。先把邊排序：{CD,AB,AF,AE,AC,BE,CE,DE}，對于邊長度{1，1.2，1.5，2，3.2，3.5，4}。找一個最小的索引i，使得$G_i$有一個size≤2的支配集。我們找到的最小的索引i是4，即{CD,AB,AF,AE}，對應的支配集為{A,C}，最優解是AE=2。

找到的最優解是相等的，這也可以表明“轉化后有附加條件的支配集問題”等價于“k中心問題”。

轉化成功，下面我們就可以直接從“支配集問題”的角度來考慮啦。

square of graph （$H^2$）

對于圖H ，有兩個點u、v（$u=v$），有一條u，v之間的路徑，"a path of length at most two"的意思是u和v之間有邊，直接相連或者u通過另外一個頂點連著v，我們定義$H^2$為包含邊（u，v）的圖，這里對這個邊沒有定義長度，通常這樣的圖中的邊是沒有長度的。
比如上圖的平方：

開始證明

dom(H)的下限（$H$的支配集&&$H^2$的獨立集）

給定圖H,$I$是$H^2$的獨立集，有$|I|\le dom(H)$。
$dom(H)$是圖H中最小支配集的頂點數，我們這里可以假設D是圖H中的最小支配集。有兩個概念需要解釋一下：star、clique。

• 這里有個star的概念，就是每個支配頂點以及被它支配的頂點、支配邊共同形成的圖，其實是一個二分圖，$K_{1,p}$，一個支配頂點，對應著p個被支配的頂點，p≥1。如下圖，這是一個star，對于支配頂點A的star，支配集有幾個頂點，就有幾個star。即，我們假設支配集為D，那么star的個數為|D|。（比如圖H中的最小支配集為<A,D>）
  
• 還有一個概念clique，網上翻譯成“團”，在我們這里是完全子圖的意思。對照著上面的頂點（即圖H中的一個star），我們也可以畫出clique的圖：（可以看出是一個完全子圖，因為star中的每個被支配頂點之間都可以通過支配頂點連在一起，如B、C通過A連在一起。）
  
  現在有一個顯而易見的事情，在圖H中最小支配集D的任意一個star，在圖$H^2$中都是一個clique，所以圖$H^2$中有|D|個clique。

分析：那么然后，我們回到證明本身。我們要證明的內容是：“給定圖H,$I$是$H^2$的獨立集，有$|I|\le dom(H)$。” 圖$H^2$中的獨立集的大小≤圖H中的最小支配集的大小，就是說我們可以找到任意圖的最小支配集的下限，就是用它的平方的獨立集的大小來表示。圖H中的最小支配集的大小，是|D|。我們現在要證圖$H^2$中的獨立集$I$的大小≤|D|。所以我們要先找到圖$H^2$中的獨立集$I$。

從圖$H^2$的clique中找獨立集$I$：獨立集我們知道，就是這個集合中任意兩個頂點不相鄰。那么對于一個clique，完全子圖來說，每個頂點都彼此相鄰，只會存在最多一個頂點屬于圖H的獨立集（0個的情況是，這個子圖的頂點與其他子圖的頂點相鄰，我們取了其他子圖的頂點就不再取）。

計算獨立集$I$的大小：我們已經知道，圖$H^2$中有|D|個clique，那么從每個clique中拿出最多一個頂點，形成獨立集，可以說明獨立集的大小最多只有|D|。即可證給定圖H,$I$是$H^2$的獨立集，有$|I|\le dom(H)$。

得到結論：對于任意一個圖H，最小支配集大小的下限是該圖平方$H^2$的任意一個獨立集大小。

算法

思路：

• k-center轉化為支配集問題：我們之前已經分析過，k-center問題可以轉化為：找最小的索引i成為$i^{?}$，使得$G_{i^{?}}$有一個size≤k的支配集。OPT=$cost(e_{i^{?}})$。（$e_{i^{?}}$在{$e_{i^1}$、$e_{i^2}$、$e_{i^3}$……$e_{i^{?}}$}中就是“最大的”“最小距離”，然后我們找最小的索引，就相當于“最小的”“最大的”“最小距離”。）

• OPT下限：如第1章所說，我們通常的套路就是，因為算不出來OPT，沒法算近似比=近似解/OPT；我們就先算OPT的下限，OPT≥a，然后近似解≤a·c，(c為常數)，然后呢就有近似解≤c·a≤c·OPT，近似解/OPT≤c。所以這里證明的就是套路中的第一步：先算OPT的下限，即$cost(e_{i^{?}})$的下限。

• 計算OPT下限：因為我們按照邊的大小給邊排序索引，那么我們需要找一個合適的j，滿足$j<i^{?}$，這樣就有$cost(e_j)<cost(e_{i^{?}})$啦。

• 找合適的下限索引j：因為我們之前已經證明：圖H最小支配集大小下限是圖$H^2$任意獨立集大小，即$|I|\le dom(H)$。也就是說，圖H中的|最小支配集|≥圖$H^2$的|最大獨立集|。即我們可以用圖平方上的獨立集問題來考慮找到合適的j。

算法內容：

1.構造$G_1^2$,$G_2^2$,…,$G_m^2$。
2.在每個圖$G_i^2$中計算最大獨立集$M_i$。
3.找到最小索引i，使$|M_i|\le k$，此時，$j=i$。
4.返回$M_j$。

OPT下限定理：對應我們定義的j，$cost(e_j)\le OPT.$
證明：這里證明的就是套路中的第一步：先算OPT的下限。

• 我們在圖H中找最小的索引i成為$i^{?}$，使得$G_{i^{?}}$有一個size≤k的支配集，OPT=$cost(e_{i^{?}})$，我們要證的就是$j\le i^{?}$。
• j是對于每個圖$G_i^2$中最大獨立集$M_i$，滿足$|M_i|\le k$的最小索引。$i^{?}$是使得圖$G_{i^{?}}$有一個size≤k的支配集的最小索引。 也就是說，我們要證，|圖平方最大獨立集|≤|圖最小支配集|。
• 我們之前的定理已經推出：圖H的最小支配集dom(H)≥I，I是圖$H^2$中的任意一個獨立集，當然也包括最大獨立集。定理可證。

直觀分析：

• 圖$H$和圖$H^2$，很明顯地，圖$H^2$的邊更多。
• 如果要求支配集的大小，很顯然是在圖$H^2$中的支配集|D’|≤圖$H$中的支配集|D|。如果要求最大獨立集的大小，也很顯然是在圖$H^2$中的最大獨立集|I’|≤圖$H$中的最大獨立集|I|。而且之前我們有證過，一個圖的最大獨立集也是這個圖的支配集，也符合以上的想法。
• 然后呢，我們之前證過一個定理，圖H的最小支配集dom(H)≥I，I是圖$H^2$中的一個獨立集。也就是說，圖$H^2$中的最大獨立集|I’|≤圖H的最小支配集dom(H)。我們找到的j就是對應著圖$H^2$中的最大獨立集|I’|，$i^{?}$就是對應著圖H的最小支配集dom(H)，所以$j\le i^{?}$。

近似比

該近似算法可以算出OPT下限，那么就勝利在望了！現在再找個常數，和下限相乘，如果是我們的近似解就沒問題啦~

此近似算法的近似比為2，即$近似解/最優解\le 2$。
證明：

• 因為我們之前已經證過：最大獨立集也是支配集。那么我們找到的圖$H^2$中的最大獨立集$I^{\prime }$也是支配集$D^{\prime }$，也有$|D^{\prime }|$個star。即我們找出來的j，對應的$G_j^2$上的最大獨立集$M_j$，也是相應的支配頂點。
• 因為我們找到的$e_j$是$M_j$中最長的邊，所有在$M_j$中該star的邊$cost(e_i)\le cost(e_j)$，根據三角不等式，我們可知所有在$M_j$中的邊$cost(e_i)\le 2?cost(e_j)$。
• 又因為我們之前證過$cost(e_j)\le OPT$，所以有$cost(e_i)\le 2?cost(e_j)\le 2?OPT$。

近似比最優證明

即我們要證明對于k-center問題，不存在近似因子2?ε, ε>0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的创新实训个人记录：metric k-center的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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