初等数论--整除--公倍数一定是最小公倍数的倍数
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初等数论--整除--公倍数一定是最小公倍数的倍数
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初等數論--整除--公倍數一定是最小公倍數的倍數
- 最小公倍數
- 公倍數一定是最小公倍數的倍數:a∣c且b∣c?[a,b]∣ca|c且b|c\leftrightarrow [a,b]|ca∣c且b∣c?[a,b]∣c
博主本人是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列： 初等數論，方便檢索。
最小公倍數
c=[a,b]c=[a,b]c=[a,b]
滿足兩個條件：{a∣c且b∣c對整數d,如果a∣d且b∣d，有d≥c滿足兩個條件：\left\{ \begin{aligned} a|c且b|c\\ 對整數d,如果a|d且b|d，有d\ge c \\ \end{aligned} \right. 滿足兩個條件：{a∣c且b∣c對整數d,如果a∣d且b∣d，有d≥c?
公倍數一定是最小公倍數的倍數:a∣c且b∣c?[a,b]∣ca|c且b|c\leftrightarrow [a,b]|ca∣c且b∣c?[a,b]∣c
證明：證明：證明：
- a∣c且b∣c→[a,b]∣c設L=[a,b]，對于兩個整數c和L，一定滿足?q,r∈Z,使得c=qL+r,0≤r<L,因為a∣c,a∣qL,所以a∣c?qL=r；同理b∣rr是a、b的公倍數又因為0≤r<L=[a,b]，所以r=0,即c=qL=q[a,b],[a,b]∣ca|c且b|c\rightarrow [a,b]|c\\設L=[a,b]，對于兩個整數c和L，一定滿足{\exists}q,r \in Z,使得c=qL+r,0\le r<L,\\因為a|c,a|qL,所以a|c-qL=r；同理b|r\\r是a、b的公倍數\\又因為0\le r<L=[a,b]，所以r=0,\\即c=qL=q[a,b],[a,b]|ca∣c且b∣c→[a,b]∣c設L=[a,b]，對于兩個整數c和L，一定滿足?q,r∈Z,使得c=qL+r,0≤r<L,因為a∣c,a∣qL,所以a∣c?qL=r；同理b∣rr是a、b的公倍數又因為0≤r<L=[a,b]，所以r=0,即c=qL=q[a,b],[a,b]∣c
- [a,b]∣c→a∣c且b∣c[a,b]|c\rightarrow a|c且b|c[a,b]∣c→a∣c且b∣c
a∣[a,b],[a,b]∣c→a∣c;同理,b∣ca|[a,b],[a,b]|c\rightarrow a|c;同理,b|ca∣[a,b],[a,b]∣c→a∣c;同理,b∣c
總結
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