初等数论--整除--带余除法
初等數論--整除--帶余除法
- 概念
- 基本性質
- 帶余除法
博主本人是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。
概念
初等數論研究對象是整數集合和自然數集合。初等數論研究對象是整數集合和自然數集合。初等數論研究對象是整數集合和自然數集合。
b∣a:若a,b∈Z,b≠0，?c∈Z,使a=bc,則稱b整除a。b|a : 若a,b\in\mathbb Z,b\neq0，{\exists}c\in\mathbb Z,使a=bc,則稱b整除a。b∣a:若a,b∈Z,b?=0，?c∈Z,使a=bc,則稱b整除a。
基本性質
1.b∣a?(?b)∣a?b∣(?a)?(?b)∣(?a)?∣b∣∣∣a∣b|a\leftrightarrow (-b)|a\leftrightarrow b|(-a)\leftrightarrow (-b)|(-a)\leftrightarrow |b|||a|b∣a?(?b)∣a?b∣(?a)?(?b)∣(?a)?∣b∣∣∣a∣
2.a≠0且b∣a→∣b∣≤∣a∣a\neq0且b|a\rightarrow |b|\le|a|a?=0且b∣a→∣b∣≤∣a∣
3.a∣b且b∣c→a∣ca|b且b|c\rightarrow a|ca∣b且b∣c→a∣c
4.a∣b且b∣a→∣a∣=∣b∣,b=±aa|b且b|a\rightarrow |a|=|b|,b=\pm aa∣b且b∣a→∣a∣=∣b∣,b=±a
5.a∣b且a∣c→a∣bt+cs,?t,s∈Za|b且a|c\rightarrow a|bt+cs,\forall t,s\in\mathbb Za∣b且a∣c→a∣bt+cs,?t,s∈Z
6.設m≠0,b∣a→mb∣ma設m\neq 0,b|a\rightarrow mb|ma設m?=0,b∣a→mb∣ma
帶余除法
設a,b是兩個給定的整數，b>0，則必定存在唯一的一對整數q、r，滿足a=qb+r,0≤r<b證明：存在性+唯一性設a,b是兩個給定的整數，b>0，則必定存在唯一的一對整數q、r，滿足a=qb+r,0\le r<b 證明：存在性+唯一性設a,b是兩個給定的整數，b>0，則必定存在唯一的一對整數q、r，滿足a=qb+r,0≤r<b證明：存在性+唯一性
- 存在性存在性存在性
我們已知整數序列…?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b…，a必定滿足qb≤a≤(q+1)b，我們令r=a?qb，則qb?qb≤a?qb<(q+1)b?qb,即0≤r<b我們已知整數序列{…-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b…}，a必定滿足qb\le a\le (q+1)b，我們令r=a-qb，則\\qb-qb\le a-qb< (q+1)b-qb,即0\le r<b我們已知整數序列…?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b…，a必定滿足qb≤a≤(q+1)b，我們令r=a?qb，則qb?qb≤a?qb<(q+1)b?qb,即0≤r<b - 唯一性唯一性唯一性
反證法：假設還存在一對整數q‘、r’，滿足a=q′b+r′,0≤r′<b,則有a=qb+r,a=q′b+r′,聯立二式得到(q?q′)b=r′?r,因為0≤r′,r<b,所以0≤∣r′?r∣<b,因此∣q?q′∣<1。又因為q和q′都是整數，所以q=q′，所以r=r′反證法：假設還存在一對整數q‘、r’，滿足a=q'b+r',0\le r'<b,則有\\a=qb+r,a=q'b+r',聯立二式得到\\(q-q')b=r'-r,\\因為0\le r',r<b,所以0\le|r'-r|<b,\\因此|q-q'|<1。\\又因為q和q'都是整數，所以q=q'，所以r=r'反證法：假設還存在一對整數q‘、r’，滿足a=q′b+r′,0≤r′<b,則有a=qb+r,a=q′b+r′,聯立二式得到(q?q′)b=r′?r,因為0≤r′,r<b,所以0≤∣r′?r∣<b,因此∣q?q′∣<1。又因為q和q′都是整數，所以q=q′，所以r=r′
總結
以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--整除--带余除法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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