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初等数论--整除--欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术

發布時間：2025/3/21 编程问答 41 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了初等数论--整除--欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

初等數論--整除--歐幾里得算法/輾轉相除法/更相減損術

歐幾里得算法/輾轉相除法/更相減損術

博主本人是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

歐幾里得算法/輾轉相除法/更相減損術

$設a0,a1∈Z,a1≠0,按照以下步驟，反復作帶余除法：a0=a1q+a2,a2<a1a1=a2q+a3,a3<a2a2=a3q+a4,a4<a3……an?2=an?1q+an,an<an?1an?1=anq+an+1,an+1=0我們需要證明，以上必為有限步，且(a0,a1)=an設a_{0},a_{1}\in Z,a_{1}\neq 0,按照以下步驟，反復作帶余除法：\\a_{0}=a_{1}q+a_{2},a_{2}<a_{1}\\ a_{1}=a_{2}q+a_{3},a_{3}<a_{2}\\ a_{2}=a_{3}q+a_{4},a_{4}<a_{3}\\ ……\\ a_{n-2}=a_{n-1}q+a_{n},a_{n}<a_{n-1}\\ a_{n-1}=a_{n}q+a_{n+1},a_{n+1}=0\\ 我們需要證明，以上必為有限步，且(a_{0},a_{1})=a_{n}$

$以上必為有限步：\\因為0<a_{n}<a_{n-1}<…<a_{2}<a_{1}<a_{0},\\且a_{0}為整數，它的正整數是有限的,\\ 所以n是有限的$
$a_{0},a_{1})=a_{n}：\\ 我們已知(a,b)=(a,b+ax),\\ 則(a_{0},a_{1})=(a_{0}-a_{1}q,a_{1})=(a_{2},a_{1})=(a_{1},a_{2}),\\ 同理，(a_{1},a_{2})=(a_{2},a_{3}),(a_{2},a_{3})=(a_{3},a_{4})……\\ 最終我們得到(a_{0},a_{1})=(a_{n-1},a_{n})=a_{n}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--整除--欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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