初等數論--整除--線性組合與最大公因數之間的關系

博主本人是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

$設a,b是兩個不全為零的整數，則(a,b)=min${$s:s=ax+by,?x,y\in Z,s>0$}
$證明：$
$$\begin{gathered} 由輾轉相除法/歐幾里得算法，我們可得(a,b)=at+bs,?t,s\in Z, \\ 現在令d=a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime },t^{\prime },s^{\prime }\in Z,假設d<(a,b),則 \\ d=a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime } \\ =(a,b)t^{\prime \prime }{t}^{\prime }+(a,b)s^{\prime \prime }{s}^{\prime } \\ =(a,b)(t^{\prime \prime }{t}^{\prime }+s^{\prime \prime }{s}^{\prime }) \\ 即(a,b)|d,這與d<(a,b)產生矛盾，所以(a,b)是a,b的線性組合中最小的 \end{gathered}$$
$(a,b)|a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime }，還說明${$s=ax+by,?x,y\in Z,s>0$}$這個集合是a,b的最大公因數的倍數的集合$

總結

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