初等數(shù)論--整除--線性組合與最大公因數(shù)之間的關(guān)系

博主本人是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。

$設(shè)a,b是兩個(gè)不全為零的整數(shù)，則(a,b)=min${$s:s=ax+by,?x,y\in Z,s>0$}
$證明：$
$$\begin{gathered} 由輾轉(zhuǎn)相除法/歐幾里得算法，我們可得(a,b)=at+bs,?t,s\in Z, \\ 現(xiàn)在令d=a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime },t^{\prime },s^{\prime }\in Z,假設(shè)d<(a,b),則 \\ d=a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime } \\ =(a,b)t^{\prime \prime }{t}^{\prime }+(a,b)s^{\prime \prime }{s}^{\prime } \\ =(a,b)(t^{\prime \prime }{t}^{\prime }+s^{\prime \prime }{s}^{\prime }) \\ 即(a,b)|d,這與d<(a,b)產(chǎn)生矛盾，所以(a,b)是a,b的線性組合中最小的 \end{gathered}$$
$(a,b)|a{t}^{\prime }+b{s}^{\prime }，還說明${$s=ax+by,?x,y\in Z,s>0$}$這個(gè)集合是a,b的最大公因數(shù)的倍數(shù)的集合$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。