初等數(shù)論--同余--Fermat素性檢測(cè)算法（為什么每次概率改變1/2）

• 為什么每次概率改變1/2

博主是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。

費(fèi)馬小定理，對(duì)于$a\in Z,p$為素?cái)?shù),有$a^{p?1}\equiv 1(modp)$

這是由已知素?cái)?shù)推公式，那么如果已有公式呢？能推測(cè)p就一定是素?cái)?shù)嗎？這就是費(fèi)馬素性檢測(cè)算法要告訴我們的內(nèi)容，p是素?cái)?shù)的概率。

偽素?cái)?shù)：如果$n$是奇合數(shù)，對(duì)于$b\in Z,$有$b^{n?1}\equiv 1(modn),$那么稱$n$是對(duì)于基$b$的偽素?cái)?shù)。(偽素?cái)?shù)不能單獨(dú)存在，一定是針對(duì)某一個(gè)基成立的性質(zhì))

算法流程：
給定某一奇整數(shù)$n\ge 3$和安全參數(shù)$k$，即檢測(cè)不超過(guò)$k$次。

• 隨機(jī)取某一整數(shù)$b$,
• 令$g=(b,n)$,如果$g=1$,則"$n$為合數(shù)";
• 令$h=b^{n?1}(modn)$,如果$h=1$,則"$n$為合數(shù)";
• 如果以上兩條皆不滿足，那么"$n$可能為素?cái)?shù)";
• 重復(fù)$k$次，如果得到一次"$n$為合數(shù)"，則$n$為合數(shù)；若每次都得到"$n$可能為素?cái)?shù)",則$n$為素?cái)?shù)的概率為$1?\frac{1}{2^k}$

我有一個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有解決，為什么是$\frac{1}{2^k},$素?cái)?shù)合數(shù)的分布是不均勻的，為什么能用$\frac{1}{2}$來(lái)考慮呢？

答案來(lái)源于 Cryptography Theory and Practice

為什么每次概率改變1/2

• 事件$a$：奇整數(shù)$n$是合數(shù)
• 事件$a^{\prime }$：奇整數(shù)$n$是素?cái)?shù)
• 事件$b$：連續(xù)回答$m$次“$n$是素?cái)?shù)”

我們想計(jì)算的是$Pr[a][b]$，利用貝葉斯定理，從$Pr[b][a]和Pr[a]$來(lái)推出。

• $Pr[b][a]：$假如奇整數(shù)$n$是合數(shù)，那么“回答一次$n$是素?cái)?shù)”的概率$\le 1/2$,“連續(xù)回答$m$次$n$是素?cái)?shù)”的概率$\le 2^{?m}$,即$Pr[b][a]\le 2^{?m}$
• $Pr[a]：$設(shè)$N\le n\le 2N,$需要知道的是$N～2N$間共有多少個(gè)奇整數(shù)，又有多少個(gè)素?cái)?shù)，再計(jì)算概率。
  • $N～2N$奇整數(shù)個(gè)數(shù)：$\frac{2N?N}{2}=\frac{N}{2}$
  • $N～2N$素?cái)?shù)個(gè)數(shù)：由素?cái)?shù)定理，我們知“$\le N$的素?cái)?shù)共有$\frac{N}{lnN}$個(gè)”，所以：$$\begin{gathered} \frac{2N}{ln2N}?\frac{N}{lnN} \\ =\frac{2N}{lnN+ln2}?\frac{N}{lnN}( \end{gathered}$$因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$N?2,$所以$lnN+ln2\approx lnN$)$$\begin{gathered} \approx \frac{2N}{lnN}?\frac{N}{lnN} \\ =\frac{N}{lnN} \end{gathered}$$
  • $n$是合數(shù)的概率：$Pr[a]=1?\frac{\frac{N}{lnN}}{\frac{N}{2}}=1?\frac{2}{lnN}$
• $Pr[a][b]：$由貝葉斯定理知：$$\begin{gathered} Pr[a][b] \\ =\frac{Pr[ab]}{Pr[b]} \\ =\frac{Pr[b][a]?Pr[a]}{Pr[b]} \\ =\frac{Pr[b][a]?Pr[a]}{Pr[b][a]?Pr[a]+Pr[b][a^{\prime }]?Pr[a^{\prime }]} \end{gathered}$$
  因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$Pr[b][a^{\prime }]=1,Pr[a^{\prime }]=\frac{2}{lnN}$,所以$$\begin{gathered} Pr[a][b] \\ =\frac{Pr[b][a]?(1?\frac{2}{lnN})}{Pr[b][a]?(1?\frac{2}{lnN})+(\frac{2}{lnN})} \\ =\frac{Pr[b][a]?(lnN?2)}{Pr[b][a]?(lnN?2)+2} \\ =\frac{lnN?2}{lnN?2+\frac{2}{Pr[b][a]}}(因為Pr[b][a]\le 2^{?m}) \\ \le \frac{lnN?2}{lnN?2+2^{m+1}} \end{gathered}$$
  當(dāng)$m$很大時(shí)，$Pr[a][b]\le 2^{?(m+1)}$,與$2^{?m}$的差距很小，可以近似，即$Pr[a][b]\le 2^{?m}$,所以$n$為素?cái)?shù)的概率$\ge 1?2^{?m}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--同余--Fermat素性检测算法（为什么每次概率改变1/2）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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