初等數論--同余--MILLER-RABIN素性檢測算法

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

和費馬素性檢測算法思路是一致的，都是已知公式推素數概率，只是這里的公式條件更強了，費馬素性檢測算法是通過偽素數的公式，MILLER-RABIN算法是通過強偽素數的公式，推素數概率。

$$\begin{gathered} 設n為奇素數，且n?1=2^{s}t,則有以下因數分解式： \\ {b}^{n?1}?1 \\ =b^{2^{s}t}?1 \\ =(b^{2^{s?1}t}+1)?(b^{2^{s?1}t}?1) \\ =(b^{2^{s?1}t}+1)?(b^{2^{s?2}t}+1)?(b^{2^{s?2}t}?1) \\ =\dots \dots \\ =(b^{2^{s?1}t}+1)?(b^{2^{s?2}t}+1)?\dots \dots ?(b^{2^{0}t}+1)?(b^{2^{0}t}?1) \\ 即如果b^{n?1}?1=0，至少以下式子有一個成立： \\ {b}^{2^{s?1}t}=?1 \\ {b}^{2^{s?2}t}=?1 \\ {b}^{2^{s?3}t}=?1 \\ \dots \dots \\ {b}^{2^{0}t}=?1 \\ {b}^{2^{0}t}=1 \end{gathered}$$

強偽素數：$如果n是奇合數，且n?1=2^{s}t,其中t為奇數，對于b\in Z,(b,n)=1,如果b和n滿足條件b^t\equiv 1(modn),或存在整數r,0\le r<s,使得b^{2^{r}t}\equiv ?1(modn),則稱n為對于基b的強偽素數。$

之后算法流程與費馬素性檢測算法流程思路一致，從強偽素數公式推素數概率。

對于這個算法，我也有一個問題沒有解決，“如果n是一個奇合數，則至多有$\frac{n?1}{4}個$b$,1\le b\le n?1$,使得$n$通過以$b$為基的MILLER-RABIN素性檢測。”

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--同余--MILLER-RABIN素性检测算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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