初等數論--同余--MILLER-RABIN素性檢測算法優化

• Euler theorem、Fermat's little theorem
• Primality Test: Fermat、MILLER-RABIN、IMPROVED
• 代碼驗證

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

這一章不同于前幾章，是我自己總結的素性檢測算法規律以及探索一些可優化的地方。

Euler theorem、Fermat’s little theorem

具體的定理內容以及證明，我在前幾章已經記錄過。

• $歐拉定理：設n\in N^{+},a\in Z,(a,n)=1,則a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$
• $費馬小定理：設n為素數,a\in Z,則a^n\equiv a(modn)$

可以看出，Fermat’s little theorem的條件更嚴格，要求是n為素數，而歐拉定理只要求a與n互素即可，并沒有要求n本身為素數。

目前我學習到的素性檢測算法都是以Fermat’s little theorem作為依據，應該是因為Fermat’s little theorem的條件，必須是素數。下面我具體來談談我學習到的幾個素性檢測算法。

Primality Test: Fermat、MILLER-RABIN、IMPROVED

素性檢測算法的目的都是一樣的：通過滿足某些條件，來判斷是素數的概率，檢測越多次概率越大，但是沒法把所有數都遍歷，所以概率不會到100%。

Fermat’s little theorem是通過n是素數的條件，推出a,n滿足哪些結論。素性檢測算法的手段也都是一樣的：通過a,n或者其他參數滿足哪些條件，判斷n是素數的概率。

• Fermat素性檢測算法：n為奇數，通過多次隨機取$b\in Z,有(b,n)=1,判斷b^{n?1}\equiv 0(modn)$來逐步提高n是素數的概率。(n如果是奇合數，則被稱為對于基b的偽素數)
• MILLER-RABIN算法：更具化了n，使得n的條件更多，$“n?1=2^{s}t,其中t為奇數，2?t,通過多次隨機取b\in Z,(b,n)=1,如果b和n滿足條件b^t\equiv 1(modn),或存在整數r,0\le r<s,使得b^{2^{r}t}\equiv ?1(modn)"$來逐步提高n是素數的概率。(n如果是奇合數，則被稱為對于基b的強偽素數)
• IMPROVED算法：更更具化了n，使得n的條件更多，$“n?1=2^k{3}^{l}m,其中2?m且3?m,通過多次隨機取b\in Z,(b,n)=1,如果b和n滿足條件b^m\equiv 1(modn),或存在整數q,0\le q<l,使得b^{2?3^{q}m}+b^{3^{q}m}\equiv ?1(modn)",或存在整數r,0\le r<k,使得b^{2^r{3}^{l}m}\equiv ?1(modn)"$來逐步提高n是素數的概率。

可以看出，條件逐漸變得嚴格。有時候某些數可以通過Fermat素性檢測算法，卻不能通過MILLER-RABIN算法；可以通過MILLER-RABIN算法卻不能通過IMPROVED算法。

這是因為比對這兩種算法，其實是把Fermat素性檢測算法的一個條件進一步拆分成(s+1)個條件，MILLER-RABIN算法繼續到IMPROVED算法，也是把1個條件繼續拆分成(l+1)個條件。

我們是通過條件中有“0”項來判斷整體為“0”，從而素數可能性提高。也就是說，條件項皆不為0，則不能通過素性檢測。有沒有可能某一個數對于IMPROVED算法，皆不為0，可是對于MILLER-RABIN算法為0呢？應該是有的，即(l+1)個分項不為0，但是(l+1)個分項的乘積為0。即可能存在"$b^{2?3^{q}m}+b^{3^{q}m}\equiv ?1(modn)不滿足,b^m\equiv 1(modn)不滿足,卻滿足b^t\equiv 1(modn).$"

代碼驗證

具體數字需要代碼實現驗證，此工作正在進行中……

實現了Fermat素性檢測算法，和MILLER-RABIN素性檢測算法，以2為底，primeTable是0-10w內所有素數，生成算法沒有貼上來。

以下是Fermat素性檢測算法代碼：

from random import random# 利用輾轉相除法求最大公因數 def BFactor(a, b):# 若b>a，則交換兩個數的值if (b > a):t = aa = bb = tr = b # 初始化rwhile (r != 0):r = a % b # r為a/b的余數a = bb = rreturn a # 得到最后的a為(a,b)# n = int(input("請輸入需要檢測的整數n：")) # K = int(input("請輸入循環次數k："))False_Prime_founded = []def fermat_test(n, K):k = 0while (k < K):flag = False# while (not flag):# b = int(random() * (n - 4) + 2) # 生成一個[2,n-2]之間的隨機整數# if (b >= 2 and b <= n - 2):# flag = Trueb = 2factor = BFactor(b, n) # 計算(b,n)r = (b ** (n - 1)) % n # 計算b^(n-1)modnprint("k=" + str(k + 1) + "時,取b=" + str(b), end=",")print("g=(" + str(b) + "," + str(n) + ")=" + str(factor), end=',')print("r=" + str(b) + "^" + str(n - 1) + "(mod " + str(n) + ")=" + str(r), end=',')if (factor > 1):print("故n=" + str(n) + "為合數")breakelif (r != 1):print("故n=" + str(n) + "為合數")breakelse:print("故n=" + str(n) + "可能為素數")k += 1if (k == K and n not in primeTable):False_Prime_founded.append(n)print("所以, n=" + str(n) + "可能為素數,n為素數的概率為" + str((1 - 1 / (2 ** k)) * 100) + "%")def run():for i in range(5, 100000):print(i)fermat_test(i, 1)print("找到的素數：" + str(False_Prime_founded))# 遍歷整數，直至找到偽素數run()

以下是MILLER-RABIN素性檢測算法代碼：

import decimal from random import random from decimal import Decimal, localcontext import mathdecimal.getcontext().prec = 100000000# 輾轉相除法找最大公因數(a,b) def BFactor(a, b):if b > a:t = ab = ta = bq = bwhile (q != 0):q = a % ba = bb = qreturn b# n = int(input("請輸入需要檢測的整數n：")) # K = int(input("請輸入循環次數k："))MI_False_Prime_founded = []def MILLER_RABIN(n, K):k = 0while (k < K):t = n - 1while (t % 2 == 0):print(t)t /= 2print("n: " + str(n) + "t: " + str(t))print("n-1/t:" + str((n - 1) / t))s = int(math.log((n - 1) / t, 2))print("s" + str(s))flag = False# while (not flag):# b = int(random() * (n - 4) + 2) # 生成一個[2,n-2]之間的隨機整數# if (b >= 2 and b <= n - 2):# flag = Trueb = 2factor = BFactor(b, n) # 計算(b,n)print("t: " + str(t))x = Decimal(Decimal(pow(Decimal(b), Decimal(t))) % Decimal(n)) # 計算b^tmodny = []print("vafac")for r in range(1, s):print("avsdfavafaa")print("s" + str(s))y.append(Decimal(pow(b, (Decimal(pow(2, r) * t)))))print(y)# print("包含2的次冪："+str(y))# print("k=" + str(k + 1) + "時,取b=" + str(b), end=",")# print("g=(" + str(b) + "," + str(n) + ")=" + str(factor), end=',')# # print("r=" + str(b) + "^" + str(n - 1) + "(mod " + str(n) + ")=" + str(r), end=',')for i in y:print("i: " + str(i))print("n: " + str(n))print("i%n: " + str(int(i) % n))if int(i) % n == n - 1:print("故n=" + str(n) + "可能為素數")MI_False_Prime_founded.append(n)breakif factor > 1:print("factor: " + str(factor))print("數字1")print("故n=" + str(n) + "為合數")breakif x == 1 or x == -1:print("數字2")print("故n=" + str(n) + "可能為素數")MI_False_Prime_founded.append(n)# if p== -1 for p in y:# if p# print("故n=" + str(n) + "可能為素數")# k = k + 1else:print("故n=" + str(n) + "為合數")k += 1# if (k == K):# print("數字3")# MI_False_Prime_founded.append(n)# print("所以, n=" + str(n) + "可能為素數,n為素數的概率為" + str((1 - 1 / (2 ** k)) * 100) + "%")def run():for i in primeTable:print(i)MILLER_RABIN(i, 1)print("找到的素數：" + str(MI_False_Prime_founded))primeTable = [341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601,7957, 8321, 8481, 8911, 10261, 10585, 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705,18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341, 30121, 30889, 31417, 31609, 31621, 33153, 34945, 35333,39865, 41041, 41665, 42799, 46657, 49141, 49981, 52633, 55245, 57421, 60701, 60787, 62745, 63973, 65077,65281, 68101, 72885, 74665, 75361, 80581, 83333, 83665, 85489, 87249, 88357, 88561, 90751, 91001, 93961]run()

找到的偽素數分別是：

• Fermat算法找到的“素數”：[341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601, 7957, 8321, 8481, 8911, 10261, 10585, 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705, 18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341, 30121, 30889, 31417, 31609, 31621, 33153, 34945, 35333, 39865, 41041, 41665, 42799, 46657, 49141, 49981, 52633, 55245, 57421, 60701, 60787, 62745, 63973, 65077, 65281, 68101, 72885, 74665, 75361, 80581, 83333, 83665, 85489, 87249, 88357, 88561, 90751, 91001, 93961]

• MILLER-RABIN算法找到的“素數”：[2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--同余--MILLER-RABIN素性检测算法优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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