初等數(shù)論--二次剩余與二次同余方程--既約剩余系中二次剩余的個(gè)數(shù)

博主是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。

二次剩余：設(shè)$a$為整數(shù)，$p$為奇素?cái)?shù)，$p?a$，如果同余方程$x^2\equiv a(modp)$有解，那么$a$是模$p$的二次剩余；否則$a$是模$p$的二次非剩余。

• 設(shè)$p$為奇素?cái)?shù)，在$p$的既約剩余系（共$p?1$個(gè)數(shù)）中，恰好有$\frac{p?1}{2}$個(gè)模$p$的二次剩余，$\frac{p?1}{2}$個(gè)模$p$的二次非剩余。

證明：
模$p$的二次剩余只可能是：$1^2,2^2,\dots \dots ,(p?1{)}^2$,現(xiàn)在考慮這其中是否有同余的數(shù)：
令$$\begin{gathered} i^2\equiv j^2(modp), \\ (i+j)(i?j)\equiv 0(modp) \\ i\equiv ?j或i\equiv j(modp) \\ 即i=p?j或i=j \end{gathered}$$
我們可以得到：
$$\begin{gathered} 1^2\equiv (p?1{)}^2(modp) \\ {2}^2\equiv (p?2{)}^2(modp) \\ \dots \dots \\ (\frac{p?1}{2}{)}^2\equiv (\frac{p+1}{2}{)}^2(modp) \end{gathered}$$
所以模$p$的二次剩余一共是$\frac{p?1}{2}$個(gè)：$1^2,2^2,\dots \dots (\frac{p?1}{2}{)}^2$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--二次剩余与二次同余方程--既约剩余系中二次剩余的个数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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