初等數論--二次剩余與二次同余方程--既約剩余系中二次剩余的個數

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

二次剩余：設$a$為整數，$p$為奇素數，$p?a$，如果同余方程$x^2\equiv a(modp)$有解，那么$a$是模$p$的二次剩余；否則$a$是模$p$的二次非剩余。

• 設$p$為奇素數，在$p$的既約剩余系（共$p?1$個數）中，恰好有$\frac{p?1}{2}$個模$p$的二次剩余，$\frac{p?1}{2}$個模$p$的二次非剩余。

證明：
模$p$的二次剩余只可能是：$1^2,2^2,\dots \dots ,(p?1{)}^2$,現在考慮這其中是否有同余的數：
令$$\begin{gathered} i^2\equiv j^2(modp), \\ (i+j)(i?j)\equiv 0(modp) \\ i\equiv ?j或i\equiv j(modp) \\ 即i=p?j或i=j \end{gathered}$$
我們可以得到：
$$\begin{gathered} 1^2\equiv (p?1{)}^2(modp) \\ {2}^2\equiv (p?2{)}^2(modp) \\ \dots \dots \\ (\frac{p?1}{2}{)}^2\equiv (\frac{p+1}{2}{)}^2(modp) \end{gathered}$$
所以模$p$的二次剩余一共是$\frac{p?1}{2}$個：$1^2,2^2,\dots \dots (\frac{p?1}{2}{)}^2$

總結

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