近世代數--置換群--置換permutation分解成什么？置換的級如何計算？

• 置換的分解
• 置換的級計算

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

有一些概念。

• 置換permutation：設集合$S$是一個有限非空集合，$G$是$S$到它自身上的所有元素一一映射，即$\pi :S\to S$。
  

• 對稱群symmetric group：當$S$為具有$n$個元素的有限集合 時，它的全部置換（所有一一映射，每個一一映射是所有元素的一一映射）所組成的群$G$也稱為$n$次對稱群，記為$S_n$。

例子：$S=\{1,2,3\}$
$S_n=$$$\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{1,3,2\}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{2,1,3\}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{2,3,1\}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{3,1,2\}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}\{1,2,3\}\\ \{3,2,1\}\end{array}\right\}$$

簡寫：$S_n=\{(1),(2,3),(1,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)\}$

• 置換群permutation group：置換群是對稱群的子群。
• 輪換cycle：$S$是有限非空集合，如果我們從$S$中任意元素$x$開始重復置換，得到$\pi (x),\pi (\pi (x)),\dots \dots$直到某個置換返回$x$，那么我們稱這些置換為一個輪換。
  
• 對換transposition：只有兩個元素的輪換。
• 不相交的輪換disjoint cycle：兩個輪換$\sigma =\{i_1,i_2\dots \dots i_r\}，\tau =\{j_1,j_2\dots \dots j_s\}，$如果有$i_k=j_l,k=1,2,\dots \dots r,l=1,2\dots \dots s$，那么我們稱這兩個輪換$\sigma ,\tau$不相交。兩個不相交輪換的乘積是可交換的commutative：$\sigma ?\tau =\tau ?\sigma$。

例子：$(1,3,4)，(2,5)$。可交換的：$(1,3,4)?(2,5)=(2,5)?(1,3,4)$

置換的分解

任何置換都可以分解成不相交的輪換的乘積，而且分解成的輪換是唯一的。

證明：數學歸納法
假設集合$|S|=n$，

• 當$n=1$，則$\tau =(1)$；
• 假設$n?1$時結論成立；即${\alpha }^{n?1}$可以寫成${\alpha }_1?{\alpha }_2\dots \dots ?{\alpha }_r$的形式，其中${\alpha }_i,(i=1\dots \dots r)$是一個輪換，${\alpha }_i、{\alpha }_j(i=j)$不相交
• 現在證明$S=\{1,2,3\dots \dots ,n\}$
  取一個置換：${\alpha }^n=$$$\left\{\begin{array}{r}1\\ i_1\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}2\\ i_2\end{array}\right\},\dots \dots ,\left\{\begin{array}{r}n?1\\ i_{n?1}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}n\\ i_n\end{array}\right\}$$
  有兩種情況：
  • $i_n=n$，這種情況直接得出${\alpha }^n={\alpha }^{n?1}?(n)={\alpha }_1?{\alpha }_2\dots \dots ?{\alpha }_r?(n)$，是不相交的輪換的乘積形式；
  • $i_n=n$，則有$?k\in \{1,2\dots \dots n?1\}，i_k=n，{\alpha }^n=$$$\left\{\begin{array}{r}1\\ i_1\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}2\\ i_2\end{array}\right\},\dots \dots ,\left\{\begin{array}{r}k?1\\ i_{k?1}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}k\\ i_k\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}k+1\\ i_{k+1}\end{array}\right\},\dots \dots \left\{\begin{array}{r}n?1\\ i_{n?1}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}n\\ i_n\end{array}\right\}$$
    • 這樣$i_k=n，i_n\in \{1,2\dots \dots n?1\}，$有${\alpha }^n=(i_k,i_n){\alpha }^{n?1}?(n)$，即**先把$i_n$換到前$n?1$個對應關系中，然后就跟前一種可能是一樣的。**展開來，${\alpha }^n=(i_k,i_n)?{\alpha }_1?{\alpha }_2\dots \dots ?{\alpha }_r$。
    • 在${\alpha }_1,{\alpha }_2\dots \dots ,{\alpha }_r$中必定存在一個，且只存在一個（因為${\alpha }_i,(i=1\dots \dots r)$彼此不相交）${\alpha }_i$包含$i_n$，即$a_i$與$(i_k,i_n)$相交。
    • 假設是${\alpha }_1$,可以寫成${\alpha }_1=(i_n,a,\dots \dots b)$，那么$(i_k,i_n)?{\alpha }_1=(i_k,i_n,a,\dots \dots b),{\alpha }^n=(i_k,i_n)?{\alpha }_1?{\alpha }_2\dots \dots ?{\alpha }_r=(i_k,i_n,a,\dots \dots b)?{\alpha }_2\dots \dots ?{\alpha }_r$，是互不相交的輪換，證畢。

置換的級計算

置換$\sigma$：

• 本身是$r$長輪換的話，那$ord(\sigma )=r$
• 如果不是輪換，則置換可以分解為輪換，$\sigma ={\sigma }_1?{\sigma }_2?\dots \dots ?{\sigma }_t$，其中${\sigma }_i$為輪換；那么$ord(\sigma )=l.c.m(ord({\sigma }_1),ord({\sigma }_2),\dots \dots ord({\sigma }_t))$,$l.c.m()$是求最小公倍數。

理解，為什么置換的級是分解輪換級的最小公倍數：

• 輪換的級：$ord({\sigma }_i)$的意思是最少“轉多少次”才能使數字不變；例子：$(1,3,4)=$$$\left\{\begin{array}{r}1\\ 3\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}3\\ 4\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{r}4\\ 1\end{array}\right\}$$
  “轉1次”：$(3,4,1)$
  “轉2次”：$(4,1,3)$
  “轉3次”：$(1,3,4)$
  所以$ord((1,3,4))=3$
  任意輪換的級就是這個輪換的元素個數
• 置換的級：置換分解成了多個輪換，那么我們需要將這個置換轉每個輪換級的最小公倍數次，才能使所有元素都不變。例子：$(1,3,4,2,5)=(1,3,4)(2,5),(1,3,4)$需要轉3次，$(2,5)$需要轉2次，那么$(1,3,4,2,5)$需要轉6次。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--置换群--置换permutation分解成什么？置换的级如何计算？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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