近世代数--群同构--第一同构定理
近世代數--群同構--第一同構定理
- 先驗知識
- 第一同構定理：f=σφ，σf=\sigma\varphi，\sigmaf=σφ，σ為同構。
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
先驗知識
- 正規子群normal subgroup：?a∈G,H≤G,\forall a\in G,H\le G,?a∈G,H≤G,有aH=Ha,aH=Ha,aH=Ha,則稱HHH是GGG的正規子群，記作H?GH\unlhd GH?G。如果H≠GH\neq GH?=G，那么稱HHH是GGG的proper normal subgroup，記作H?GH\triangleleft GH?G。通常，我們討論的都是H≠GH\neq GH?=G的情況，所以下文中都直接使用H?GH\triangleleft GH?G。
其中群GGG本身和單位元{e}\{e\}{e}是群GGG的正規子群。
且H?G??a∈G,aHa?1?HH\triangleleft G\leftrightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}\subset HH?G??a∈G,aHa?1?H
證明：
“→:”“\rightarrow: ”“→:”H?G→?a∈G,aH=Ha→?a∈G,aHa?1=H?HH\triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}=H\subset HH?G→?a∈G,aH=Ha→?a∈G,aHa?1=H?H
“←:”“\leftarrow: ”“←:”?a∈G,aHa?1?H→?h1,h2∈H,ah1a?1=h2→ah1=h2a∈Ha→aH?Ha;\forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow {\exists}h_1,h_2\in H,ah_1a^{-1}=h_2\rightarrow ah_1=h_2a\in Ha\rightarrow aH\subset Ha;?a∈G,aHa?1?H→?h1?,h2?∈H,ah1?a?1=h2?→ah1?=h2?a∈Ha→aH?Ha;同理，Ha?aH;Ha\subset aH;Ha?aH;故，aH=Ha,H?G。aH=Ha,H\triangleleft G。aH=Ha,H?G。
- 商群：有H?G,GH\triangleleft G,GH?G,G對HHH的所有不同陪集的集合，記作G/H，G/HG/H，G/HG/H，G/H關于子集的乘法構成一個群。
證明：單位元+逆元+封閉性+結合性
單位元：G/H={aH∣H?G,a∈G},G/H=\{aH|H\triangleleft G,a\in G\},G/H={aH∣H?G,a∈G},已知aH?H=H?aH=aH,aH·H=H·aH=aH,aH?H=H?aH=aH,所以HHH是單位元
逆元：aH?a?1H=aa?1H=H;a?1H?aH=a?1aH=H,aH·a^{-1}H=aa^{-1}H=H;a^{-1}H·aH=a^{-1}aH=H,aH?a?1H=aa?1H=H;a?1H?aH=a?1aH=H,所以a?1Ha^{-1}Ha?1H是aHaHaH的逆元
封閉性：?aH,bH∈G/H,aH?bH=ah1bh2∣h1,h2∈H=abh1h2∣h1h2∈H=abh∣h∈H=abH,\forall aH,bH\in G/H,aH·bH=ah_1bh_2|h_1,h_2\in H=abh_1h_2|h_1h_2\in H=abh|h\in H=abH,?aH,bH∈G/H,aH?bH=ah1?bh2?∣h1?,h2?∈H=abh1?h2?∣h1?h2?∈H=abh∣h∈H=abH,因為a,b∈G,→ab∈G,a,b\in G,\rightarrow ab\in G,a,b∈G,→ab∈G,所以abH∈G/HabH\in G/HabH∈G/H
結合性：(aH?bH)?cH=abH?cH=abcH;aH?(bH?cH)=aH?bcH=abcH(aH·bH)·cH=abH·cH=abcH;aH·(bH·cH)=aH·bcH=abcH(aH?bH)?cH=abH?cH=abcH;aH?(bH?cH)=aH?bcH=abcH,所以(aH?bH)?cH=aH?(bH?cH)(aH·bH)·cH=aH·(bH·cH)(aH?bH)?cH=aH?(bH?cH)
- 群同態：有兩個群(G,?),(G′,?)(G,·),(G',*)(G,?),(G′,?),fff是GGG到G′G'G′的一個映射，滿足f(a?b)=f(a)?f(b),f(a·b)=f(a)*f(b),f(a?b)=f(a)?f(b),稱fff為GGG到G′G'G′的一個同態，記作G～G′G\sim G'G～G′
單同態：如果fff是單射，那么fff是單同態
滿同態：如果fff是滿射，那么fff是滿同態
同構：如果fff是雙射，那么fff是同構
- Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,Im(f)=f(G)=\{f(a)|a\in G\},Im(f)\le G,Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,如果Im(f)=G′Im(f)=G'Im(f)=G′,則fff是滿同態；
- ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)?G,ker(f)=\{a|a\in G,f(a)=e'\},ker(f)\triangleleft G,ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)?G,如果ker(f)={e},ker(f)=\{e\},ker(f)={e},則fff是單同態；所有kernel都是正規子群，所有正規子群都是某個映射的kernel
證明ker(f)?G:ker(f)\triangleleft G:ker(f)?G:
令H=ker(f),H=ker(f),H=ker(f),則要證的就是aH=Ha,?a∈G,aH=Ha,\forall a \in G,aH=Ha,?a∈G,即aHa?1?HaHa^{-1}\subset HaHa?1?H
f(aHa?1)=f(a)?f(H)?f(a?1)=f(a)?e′?f(a?1)=f(a)?f(a?1)=f(a?a?1)=f(e)f(aHa^{-1})\\ =f(a)*f(H)*f(a^{-1})\\ =f(a)*e'*f(a^{-1})\\=f(a)*f(a^{-1})\\=f(a·a^{-1})\\=f(e)f(aHa?1)=f(a)?f(H)?f(a?1)=f(a)?e′?f(a?1)=f(a)?f(a?1)=f(a?a?1)=f(e)
現在要求f(e)f(e)f(e)
假設a∈ker(f),a\in ker(f),a∈ker(f),
f(a?e)=f(a)?f(e)f(a)=f(a)?f(e)e′=e′?f(e)f(a·e)=f(a)*f(e)\\ f(a)=f(a)*f(e)\\ e'=e'*f(e)f(a?e)=f(a)?f(e)f(a)=f(a)?f(e)e′=e′?f(e)
對于G′G'G′中的單位元e′e'e′，任何數與單位元做運算都是該數本身，所以f(e)=e′f(e)=e'f(e)=e′
故f(aHa?1)=e′→aHa?1?ker(f)=H,f(aHa^{-1})=e'\rightarrow aHa^{-1}\subset ker(f)=H,f(aHa?1)=e′→aHa?1?ker(f)=H,證畢。
- 自然同態normal homomorphism：N?GN\triangleleft GN?G，f:G→G/Nf:G\rightarrow G/Nf:G→G/N是滿同態，f(g)=gNf(g)=gNf(g)=gN，稱自然同態。
第一同構定理：f=σφ，σf=\sigma\varphi，\sigmaf=σφ，σ為同構。
條件1：f:G→G′f:G\rightarrow G'f:G→G′是一個滿同態，
條件2：N=ker(f),N=ker(f),N=ker(f),
則G/N?G′。G/N\cong G'。G/N?G′。即σ\sigmaσ為同構，f=σφ。f=\sigma\varphi。f=σφ。
證明：
要證σ\sigmaσ是同構的，即證同態+單同態+滿同態。因為G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,G/N=\{gN|g\in G\},\varphi:G\rightarrow G/N,G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,即φ(g)=gN;f:G→G′,\varphi(g)=gN;f:G\rightarrow G',φ(g)=gN;f:G→G′,即f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,f(g)=g',g'\in G';\sigma:G/N\rightarrow G',f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,即σ(gN)=g′,g′∈G′。\sigma(gN)=g',g'\in G'。σ(gN)=g′,g′∈G′。所以我們定義σ(gN)=f(g),g∈G。\sigma(gN)=f(g),g\in G。σ(gN)=f(g),g∈G。
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同態：
- 一個映射：要證aN=bN→σ(aN)=σ(bN)：aN=bN→a?1bN=N→a?1b∈N→f(a?1b)=1G→f(a?1)?f(b)=1G→f(a?1)?1=f(b)→f(a)=f(b)→σ(aN)=σ(bN)aN=bN\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)：\\aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\\\rightarrow f(a^{-1}b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})*f(b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})^{-1}=f(b)\\\rightarrow f(a)=f(b)\\\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)aN=bN→σ(aN)=σ(bN)：aN=bN→a?1bN=N→a?1b∈N→f(a?1b)=1G?→f(a?1)?f(b)=1G?→f(a?1)?1=f(b)→f(a)=f(b)→σ(aN)=σ(bN)
- 保持運算：要證σ(aN?bN)=σ(aN)?σ(bN)：σ(aN?bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)?f(b)=σ(aN)?σ(bN)\sigma(aN·bN)=\sigma(aN)*\sigma(bN)：\\\sigma(aN·bN)\\=\sigma(abN)\\=f(ab)\\=f(a)*f(b)\\=\sigma(aN)*\sigma(bN)σ(aN?bN)=σ(aN)?σ(bN)：σ(aN?bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)?f(b)=σ(aN)?σ(bN)
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單同態：要證單同態，即證ker(σ)=e=Nker(\sigma)={e}=Nker(σ)=e=N(因為G/NG/NG/N的單位元為NNN)。
對任意aN∈ker(σ),aN\in ker(\sigma),aN∈ker(σ),有σ(aN)=f(a)=e′,\sigma(aN)=f(a)=e',σ(aN)=f(a)=e′,故a∈ker(f)=N,→aN=N,a\in ker(f)=N,\rightarrow aN=N,a∈ker(f)=N,→aN=N,故ker(σ)=Nker(\sigma)=Nker(σ)=N
- 滿同態：要證滿同態，即證Im(σ)=G′Im(\sigma)=G'Im(σ)=G′，對?a′∈G′,\forall a'\in G',?a′∈G′,有σ(aN)=a′\sigma(aN)=a'σ(aN)=a′
對于G′G'G′中任意元素a′a'a′,由于fff是滿同態，有f(a)=a′f(a)=a'f(a)=a′存在，所以有相應的aNaNaN存在，即σ(aN)=a′\sigma(aN)=a'σ(aN)=a′,所以σ\sigmaσ也是滿同態。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--群同构--第一同构定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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