初等數論--原根--a^k對模m的階

• $a^k$對模$m$的階，即$or{d}_m(a^k)$

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

• 階：$m$是正整數，$(a,m)=1$,使得$a^d\equiv 1(modm)$滿足的最小正整數$d$,稱為$a$對模$m$的階，記為$or{d}_m(a)。$
• 原根：如果$or{d}_m(a)=\phi (m),$那么我們稱$a$是模$m$的原根。
• 一個小定理：$m$是正整數，$(a,m)=1$,如果$a^d\equiv 1(modm),$那么$or{d}_m(a)\mid d。$

證明：我們有$d=or{d}_m(a)?q+r,?q,r\in Z,0\le r<or{d}_m(a),$ 則$a^d\equiv a^{or{d}_m(a)?q+r}\equiv (a^{or{d}_m(a)}{)}^q?a^r\equiv a^r\equiv 1(modm)$
因為$or{d}_m(a)$是最小的滿足$a^d\equiv 1(modm)$的正整數，又$r<or{d}_m(a)$，所以$a^r\equiv 1(modm)\to r=0\to or{d}_m(a)\mid d$

$a^k$對模$m$的階，即$or{d}_m(a^k)$

求$or{d}_m(a^k)$

• 對于所有$x$,滿足$$\begin{gathered} (a^k{)}^x\equiv 1(modm) \\ {a}^{kx}\equiv 1(modm) \\ or{d}_m(a)\mid kx \\ \frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}\mid \frac{k}{(or{d}_m(a),k)}?x \end{gathered}$$
• 對于$\frac{a}{(a,b)}$和$\frac{b}{(a,b)}$的關系，假如$d=(a,b),d=(a,b)=(d?\frac{a}{d},d?\frac{b}{d})=d(\frac{a}{d},\frac{b}{d}),$所以$(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1。$
• 由上條$(\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)})=1\to (\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)},\frac{k}{(or{d}_m(a),k)})=1\to \frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}\mid x$
• 對于所有$x$，都有$or{d}_m(a^k)\mid x$，所以$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$

總結

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