近世代數--群--怎么判斷是不是群？

• 基本定義
• 左單位元 左逆元
• $xa=b$ $ay=b有解$
• 滿足左、右消去律的有限半群是群
• 含幺半群的可逆元構成群

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

對于群$G$的定義，

基本定義

• 封閉性 $?a,b\in G,ab\in G$
• 結合性 $?a,b,c\in G,(a?b)?c=a?(b?c)$
• 單位元 $?a\in G,a?e=e?a=a$
• 逆元 $?a\in G,a^{?1}?a=a?a^{?1}=e$

左單位元 左逆元

• 封閉性 $?a,b\in G,ab\in G$
• 結合性 $?a,b,c\in G,(a?b)?c=a?(b?c)$
• 左單位元 $?a\in G,?e\in G,e?a=a$
• 左逆元 $?a\in G,?a^{?1}\in G,a^{?1}?a=e$

證明：通過左單位元+左逆元$\to$單位元+逆元

• $$\begin{gathered} ?a\in G,?a^{?1}\in G,a^{?1}?a=e \\ \to ?a^{?1}\in G,?(a^{?1}{)}^{?1}\in G,(a^{?1}{)}^{?1}?a^{?1}=e \end{gathered}$$
• 要證$a?a^{?1}=e$，$$\begin{gathered} ?a\in G,?e\in G,e?a=a \\ \to a?a^{?1}=e?(a?a^{?1}) \\ =((a^{?1}{)}^{?1}?a^{?1})?(a?a^{?1}) \\ =(a^{?1}{)}^{?1}?(a^{?1}?a)?a^{?1} \\ =(a^{?1}{)}^{?1}?e?a^{?1} \\ =(a^{?1}{)}^{?1}?(e?a^{?1}) \\ =(a^{?1}{)}^{?1}?a^{?1} \\ =e \end{gathered}$$
• 證明得，$a^{?1}$也是右逆元；+“$a^{?1}$是左逆元”，得到$a^{?1}$是$a$的逆元，滿足$a?a^{?1}=a^{?1}?a=e$
• 要證$$\begin{gathered} a?e=a, \\ a?e \\ =a?(a^{?1}?a) \\ =(a?a^{?1})?a \\ =e?a \\ =a \end{gathered}$$
• 證明得，$e$也是有單位元，+“e是左單位元”，得到$e$是單位元，滿足$?a\in G,a?e=e?a=a$

$xa=b$ $ay=b有解$

• 封閉性 $?a,b\in G,ab\in G$
• 結合性 $?a,b,c\in G,(a?b)?c=a?(b?c)$
• $?a,b\in G,xa=b,ay=b$有解

證明：通過“$?a,b\in G,xa=b,ay=b$有解”$\to$左單位元+左逆元。

• 令$b=a$，則$xa=a$有解，把解$x$看作$e$，即$?e\in G,$使得$ea=a$，現在$e$只是針對$a$有這個性質，我們要證$e$對所有元素都有這個性質。
• 現在要證$e$是左單位元，即要證$$\begin{gathered} ?b\in G,eb=b \\ eb=e(ay)=(ea)y=ay=b \end{gathered}$$，得證
• 證左逆元，令$b=e$，$?a\in G,xa=e$有解，即$x$為左逆元。
• 由上一個定義可知，左單位元+左逆元可以推出單位元+逆元。

滿足左、右消去律的有限半群是群

• 半群：封閉性+結合性

G是有限集合

• 封閉性 $?a,b\in G,ab\in G$
• 結合性 $?a,b,c\in G,(a?b)?c=a?(b?c)$
• $$\begin{gathered} ?a,x,y\in G, \\ ax=ay\to x=y, \\ xa=ya\to x=y \end{gathered}$$

證明：通過左消去律+右消去律$\to ?a,b\in G,ax=b,ya=b$在$G$中有根

$$\begin{gathered} G=\{a_1,a_2\dots \dots a_n\}， \\ {G}_1=\{a_1{a}_i,a_2{a}_i,\dots \dots a_n{a}_i\}, \\ {G}_2=\{a_i{a}_1,a_i{a}_2,\dots \dots a_i{a}_n\}， \\ G=G_1=G_2 \end{gathered}$$
（易得$G=G_1$。根據消去律$a_k{a}_i=a_k{a}_j\to a_i=a_j$，所以$G_1$中每個元素都不一樣，則有$|G_1|=n$，即$|G|=|G_1|=n$。且由群的封閉性得$?a\in G_1,$有$a\in G$。同理，$G=G_2$，故$G=G_1=G_2$。如果是無限集合，則這里$G=G_1$不會成立，例：$G=Z,G_1=2Z,$那么$G=G_1$）

證明$?a,b\in G，ax=b$在$G$中有根。
定義一個函數$f:x\to ax$是$G\to G$的函數。

什么是函數？：易證得$f$是一個函數。

• 象的存在性：$?x\in G,?ax\in G$；
• 象的唯一性：對于每一個原象都有唯一的象。$a{x}_1=a{x}_2\to x_1=x_2$，所以$?x\in G$，只有一個對應的象。

證明函數$f$滿足雙射：

• 單射：$a{x}_1=a{x}_2\to x_1=x_2$
• 滿射：因為$f$滿足單射，即不同原象對應不同象，那么象的個數$\ge$原象個數。原象個數$=|G|$，象的個數$\ge |G|$。因為象在$G$中，所以象的個數$\le |G|$，即象的個數$=|G|$，$f(G)=G$。那么函數$f$滿射。

由于函數$f$雙射，那么$?b\in G,?x\in G$，使得$f(x)=ax=b$，即$?a,b\in G$，方程$ax=b$有解。

同理，方程$ya=b$有解。

得證：$?a,b\in G,ax=b,ya=b$在$G$中有根。

含幺半群的可逆元構成群

用$(M,?)$來表示含幺半群，$U(M)$來表示含幺半群的可逆元構成的集合。要證$U(M)$是群，即證含幺半群（封閉性，結合性，單位元）+逆元。

• 含幺半群：
  • 封閉性：是可逆元，現在需要判斷$ab$是否為可逆元。$ab?(b^{?1}{a}^{?1})=a(b?b^{?1})?a^{?1}=ae{a}^{?1}=a{a}^{?1}=e$，所以$ab$也是可逆元，其逆元為$b^{?1}{a}^{?1}$
  • 結合性：$M$滿足結合性，$U(M)?M$，那么$U(M)$也滿足結合性。
  • 單位元：$1_M?1_M=1_M，$即$1_M$是可逆元，可逆元就是它自己，$1_M\in U(M)$。
• 逆元：已知含幺半群的可逆元構成$U(M)$，現在證$U(M)$中所有元素都可逆，即我們要證$M$中所有可逆元的逆元也都被加入到了$U(M)$中。因為可逆元的逆元也是可逆的，自然地，屬于$U(M)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--群--怎么判断是不是群？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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