近世代数--群--怎么判断是不是群？
近世代數(shù)--群--怎么判斷是不是群？
- 基本定義
- 左單位元 左逆元
- xa=bxa=bxa=b ay=b有解ay=b有解ay=b有解
- 滿足左、右消去律的有限半群是群
- 含幺半群的可逆元構(gòu)成群
博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數(shù)，方便檢索。
對于群GGG的定義，
基本定義
- 封閉性 ?a,b∈G,ab∈G\forall a,b\in G,ab\in G?a,b∈G,ab∈G
- 結(jié)合性 ?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)\forall a,b,c\in G,(a·b)·c=a·(b·c)?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)
- 單位元 ?a∈G,a?e=e?a=a\forall a\in G,a·e=e·a=a?a∈G,a?e=e?a=a
- 逆元 ?a∈G,a?1?a=a?a?1=e\forall a \in G,a^{-1}·a=a·a^{-1}=e?a∈G,a?1?a=a?a?1=e
左單位元 左逆元
- 封閉性 ?a,b∈G,ab∈G\forall a,b\in G,ab\in G?a,b∈G,ab∈G
- 結(jié)合性 ?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)\forall a,b,c\in G,(a·b)·c=a·(b·c)?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)
- 左單位元 ?a∈G,?e∈G,e?a=a\forall a\in G,{\exists}e\in G,e·a=a?a∈G,?e∈G,e?a=a
- 左逆元 ?a∈G,?a?1∈G,a?1?a=e\forall a \in G,{\exists}a^{-1}\in G,a^{-1}·a=e?a∈G,?a?1∈G,a?1?a=e
證明：通過左單位元+左逆元→\rightarrow→單位元+逆元
- ?a∈G,?a?1∈G,a?1?a=e→?a?1∈G,?(a?1)?1∈G,(a?1)?1?a?1=e\forall a \in G,{\exists}a^{-1}\in G,a^{-1}·a=e\\ \rightarrow \forall a^{-1} \in G,{\exists}(a^{-1})^{-1}\in G,(a^{-1})^{-1}·a^{-1}=e?a∈G,?a?1∈G,a?1?a=e→?a?1∈G,?(a?1)?1∈G,(a?1)?1?a?1=e
- 要證a?a?1=ea·a^{-1}=ea?a?1=e，?a∈G,?e∈G,e?a=a→a?a?1=e?(a?a?1)=((a?1)?1?a?1)?(a?a?1)=(a?1)?1?(a?1?a)?a?1=(a?1)?1?e?a?1=(a?1)?1?(e?a?1)=(a?1)?1?a?1=e\forall a\in G,{\exists}e\in G,e·a=a\\\rightarrow a·a^{-1}=e·(a·a^{-1})\\=((a^{-1})^{-1}·a^{-1})·(a·a^{-1})\\=(a^{-1})^{-1}·(a^{-1}·a)·a^{-1}\\=(a^{-1})^{-1}·e·a^{-1}\\=(a^{-1})^{-1}·(e·a^{-1})\\=(a^{-1})^{-1}·a^{-1}\\=e?a∈G,?e∈G,e?a=a→a?a?1=e?(a?a?1)=((a?1)?1?a?1)?(a?a?1)=(a?1)?1?(a?1?a)?a?1=(a?1)?1?e?a?1=(a?1)?1?(e?a?1)=(a?1)?1?a?1=e
- 證明得，a?1a^{-1}a?1也是右逆元；+“a?1a^{-1}a?1是左逆元”，得到a?1a^{-1}a?1是aaa的逆元，滿足a?a?1=a?1?a=ea·a^{-1}=a^{-1}·a=ea?a?1=a?1?a=e
- 要證a?e=a,a?e=a?(a?1?a)=(a?a?1)?a=e?a=aa·e=a,\\a·e\\=a·(a^{-1}·a)\\=(a·a^{-1})·a\\=e·a\\=aa?e=a,a?e=a?(a?1?a)=(a?a?1)?a=e?a=a
- 證明得，eee也是有單位元，+“e是左單位元”，得到eee是單位元，滿足?a∈G,a?e=e?a=a\forall a \in G, a·e=e·a=a?a∈G,a?e=e?a=a
xa=bxa=bxa=b ay=b有解ay=b有解ay=b有解
- 封閉性 ?a,b∈G,ab∈G\forall a,b\in G,ab\in G?a,b∈G,ab∈G
- 結(jié)合性 ?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)\forall a,b,c\in G,(a·b)·c=a·(b·c)?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)
- ?a,b∈G,xa=b,ay=b\forall a,b \in G,xa=b,ay=b?a,b∈G,xa=b,ay=b有解
證明：通過“?a,b∈G,xa=b,ay=b\forall a,b \in G,xa=b,ay=b?a,b∈G,xa=b,ay=b有解”→\rightarrow→左單位元+左逆元。
- 令b=ab=ab=a，則xa=axa=axa=a有解，把解xxx看作eee，即?e∈G,{\exists}e\in G,?e∈G,使得ea=aea=aea=a，現(xiàn)在eee只是針對aaa有這個性質(zhì)，我們要證eee對所有元素都有這個性質(zhì)。
- 現(xiàn)在要證eee是左單位元，即要證?b∈G,eb=beb=e(ay)=(ea)y=ay=b\forall b \in G,eb=b\\ eb=e(ay)=(ea)y=ay=b?b∈G,eb=beb=e(ay)=(ea)y=ay=b，得證
- 證左逆元，令b=eb=eb=e，?a∈G,xa=e\forall a \in G,xa=e?a∈G,xa=e有解，即xxx為左逆元。
- 由上一個定義可知，左單位元+左逆元可以推出單位元+逆元。
滿足左、右消去律的有限半群是群
- 半群：封閉性+結(jié)合性
G是有限集合
- 封閉性 ?a,b∈G,ab∈G\forall a,b\in G,ab\in G?a,b∈G,ab∈G
- 結(jié)合性 ?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)\forall a,b,c\in G,(a·b)·c=a·(b·c)?a,b,c∈G,(a?b)?c=a?(b?c)
- ?a,x,y∈G,ax=ay→x=y,xa=ya→x=y\forall a,x,y\in G,\\ax=ay\rightarrow x=y,\\xa=ya\rightarrow x=y?a,x,y∈G,ax=ay→x=y,xa=ya→x=y
證明：通過左消去律+右消去律→?a,b∈G,ax=b,ya=b\rightarrow \forall a,b\in G,ax=b,ya=b→?a,b∈G,ax=b,ya=b在GGG中有根
G={a1,a2……an}，G1={a1ai,a2ai,……anai},G2={aia1,aia2,……aian}，G=G1=G2G=\{a_1,a_2……a_n\}，\\G_1=\{a_1a_i,a_2a_i,……a_na_i\},\\G_2=\{a_ia_1,a_ia_2,……a_ia_n\}，\\G=G_1=G_2G={a1?,a2?……an?}，G1?={a1?ai?,a2?ai?,……an?ai?},G2?={ai?a1?,ai?a2?,……ai?an?}，G=G1?=G2?
（易得G=G1G=G_1G=G1?。根據(jù)消去律akai=akaj→ai=aja_ka_i=a_ka_j\rightarrow a_i=a_jak?ai?=ak?aj?→ai?=aj?，所以G1G_1G1?中每個元素都不一樣，則有∣G1∣=n|G_1|=n∣G1?∣=n，即∣G∣=∣G1∣=n|G|=|G_1|=n∣G∣=∣G1?∣=n。且由群的封閉性得?a∈G1,\forall a \in G_1,?a∈G1?,有a∈Ga\in Ga∈G。同理，G=G2G=G_2G=G2?，故G=G1=G2G=G_1=G_2G=G1?=G2?。如果是無限集合，則這里G=G1G=G_1G=G1?不會成立，例：G=Z,G1=2Z,G=Z,G_1=2Z,G=Z,G1?=2Z,那么G≠G1G\neq G_1G?=G1?）
證明?a,b∈G，ax=b\forall a,b\in G，ax=b?a,b∈G，ax=b在GGG中有根。
定義一個函數(shù)f:x→axf:x\rightarrow axf:x→ax是G→GG\rightarrow GG→G的函數(shù)。
什么是函數(shù)？：易證得fff是一個函數(shù)。
- 象的存在性：?x∈G,?ax∈G\forall x\in G,\exists ax\in G?x∈G,?ax∈G；
- 象的唯一性：對于每一個原象都有唯一的象。ax1≠ax2→x1≠x2ax_1\neq ax_2\rightarrow x_1\neq x_2ax1??=ax2?→x1??=x2?，所以?x∈G\forall x\in G?x∈G，只有一個對應(yīng)的象。
證明函數(shù)fff滿足雙射：
- 單射：ax1=ax2→x1=x2ax_1=ax_2\rightarrow x_1=x_2ax1?=ax2?→x1?=x2?
- 滿射：因為fff滿足單射，即不同原象對應(yīng)不同象，那么象的個數(shù)≥\ge≥原象個數(shù)。原象個數(shù)=∣G∣=|G|=∣G∣，象的個數(shù)≥∣G∣\ge |G|≥∣G∣。因為象在GGG中，所以象的個數(shù)≤∣G∣\le |G|≤∣G∣，即象的個數(shù)=∣G∣=|G|=∣G∣，f(G)=Gf(G)=Gf(G)=G。那么函數(shù)fff滿射。
由于函數(shù)fff雙射，那么?b∈G,?x∈G\forall b\in G,\exists x\in G?b∈G,?x∈G，使得f(x)=ax=bf(x)=ax=bf(x)=ax=b，即?a,b∈G\forall a,b\in G?a,b∈G，方程ax=bax=bax=b有解。
同理，方程ya=bya=bya=b有解。
得證：?a,b∈G,ax=b,ya=b\forall a,b\in G,ax=b,ya=b?a,b∈G,ax=b,ya=b在GGG中有根。
含幺半群的可逆元構(gòu)成群
用(M,?)(M,·)(M,?)來表示含幺半群，U(M)U(M)U(M)來表示含幺半群的可逆元構(gòu)成的集合。要證U(M)U(M)U(M)是群，即證含幺半群（封閉性，結(jié)合性，單位元）+逆元。
- 含幺半群：
- 封閉性：?a,b,∈G,a、b\forall a,b,\in G,a、b?a,b,∈G,a、b是可逆元，現(xiàn)在需要判斷ababab是否為可逆元。ab?(b?1a?1)=a(b?b?1)?a?1=aea?1=aa?1=eab·(b^{-1}a^{-1})=a(b·b^{-1})·a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=eab?(b?1a?1)=a(b?b?1)?a?1=aea?1=aa?1=e，所以ababab也是可逆元，其逆元為b?1a?1b^{-1}a^{-1}b?1a?1
- 結(jié)合性：MMM滿足結(jié)合性，U(M)?MU(M)\sub MU(M)?M，那么U(M)U(M)U(M)也滿足結(jié)合性。
- 單位元：1M?1M=1M，1_M·1_{M}=1_{M}，1M??1M?=1M?，即1M1_M1M?是可逆元，可逆元就是它自己，1M∈U(M)1_M\in U(M)1M?∈U(M)。
- 逆元：已知含幺半群的可逆元構(gòu)成U(M)U(M)U(M)，現(xiàn)在證U(M)U(M)U(M)中所有元素都可逆，即我們要證MMM中所有可逆元的逆元也都被加入到了U(M)U(M)U(M)中。因為可逆元的逆元也是可逆的，自然地，屬于U(M)U(M)U(M)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--群--怎么判断是不是群？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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