近世代數--置換群--判斷置換的奇偶性

• 置換奇偶性定義
• 置換分解成輪換的結果是唯一的，置換分解成對換的結果不唯一
• 證明置換輪換的等價式
• 置換分解成對換的奇偶性

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

置換的奇偶性需要置換分解成輪換的基礎。

置換奇偶性定義

• 偶置換even permutation：分解成偶數個對換。
• 奇置換odd permutation：分解成奇數個對換。

置換分解成輪換的結果是唯一的，置換分解成對換的結果不唯一

在置換分解成輪換中，我們說置換會分解成唯一的輪換，那么分解成對換呢？

• 置換分解成對換的結果不唯一，因為輪換分解成對換的結果不唯一。
  • 首先，單個輪換是具有輪換不變性的，$(x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)$，元素一樣，是同一個輪換。
  • 但是，同一個輪換分解成的對換不唯一。
    • $(x,y,z)=(x,y)(y,z)$
    • $(y,z,x)=(y,z)(z,x)$
    • $(z,x,y)=(z,x)(x,y)$

證明置換輪換的等價式

• 公式證明：
  • (1) $(k,l)(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)$
  • (2) $(k,l)(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)$

證明 (1) 式

• 我們先考慮 (1) 式的左邊。先把$d$替換成$l:d\leftarrow l$；把$b$替換成$k:b\leftarrow k$；再把$k、l$互換，即$d\leftarrow l\leftarrow k；b\leftarrow k\leftarrow l$。
• 現在考慮 (1) 式的右邊。把$b$替換成$l:b\leftarrow l$；把$d$替換成$k:d\leftarrow k$；

可以看出，左邊的變換與右邊的變換是等價的。同理 (2) 式。

置換分解成對換的奇偶性

• 置換分解成對換的結果不唯一，將一個置換表為對換的乘積，所用對換個數的奇偶性是唯一的。

證明：
假設$\sigma$為任一$n$階置換，寫成$s$個不相交輪換（包括1-輪換）之積，即$\sigma ={\tau }_1?{\tau }_2?\dots \dots {\tau }_s$，設函數$N(\sigma )=(?1{)}^{n?s}$，顯然，$N(\sigma )$由$\sigma$惟一確定。

• 現在證明若$(a,b)$為任意對換，$N((a,b)\sigma )=(?1)N(\sigma )$

  • 如果$a,b$處于$\sigma$的同一個輪換${\tau }_1=(a,c_1,\dots \dots c_k,b,d_1,\dots \dots d_h)$中，
    （1）由公式$(k,l)(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)$得：
    （2）$$\begin{gathered} (a,b)\sigma \\ =(a,b){\tau }_1?{\tau }_2\dots \dots ?{\tau }_s \\ =((a,b){\tau }_1)?{\tau }_2\dots \dots {\tau }_s \\ =(a,c_1,\dots \dots c_k)(b,d_1,\dots \dots d_h){\tau }_2{\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \end{gathered}$$
    （3）$N((a,b)\sigma )=(?1{)}^{n?(s+1)}=(?1)N(\sigma )$

  • 如果$a,b$處于$\sigma$的不同輪換${\tau }_1=(a,c_1,\dots \dots c_k),{\tau }_2=(b,d_1,\dots \dots d_h)$中，
    （1）由公式$(k,l)(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)$得：
    （2）$$\begin{gathered} (a,b)\sigma \\ =(a,b){\tau }_1?{\tau }_2\dots \dots ?{\tau }_s \\ =((a,b){\tau }_1?{\tau }_2){\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \\ =(a,c_1,\dots \dots c_k,b,d_1,\dots \dots d_h){\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \end{gathered}$$
    （3）$N((a,b)\sigma )=(?1{)}^{n?(s?1)}=(?1)N(\sigma )$

綜上兩種情況，$N((a,b)\sigma )=(?1)N(\sigma )$

設$\sigma$可分別表示為$h$個對換和$k$個對換的乘積（因為對換分解結果不惟一）：
即$$\begin{gathered} \sigma =(a_1,b_1)(a_2,b_2)\dots \dots (a_h,b_h) \\ =(c_1,d_1)(c_2,d_2)\dots \dots (c_k,d_k) \end{gathered}$$

• 則$$\begin{gathered} N(\sigma ) \\ =N(\sigma ?1) \\ =N((a_1,b_1)(a_2,b_2)\dots \dots (a_h,b_h)?(1)) \\ =(?1{)}^h?N(1)=(?1{)}^h \end{gathered}$$

同理，$N(\sigma )=(?1{)}^k$
所以$(?1{)}^h=(?1{)}^k$，$h$和$k$具有相同的奇偶性

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--置换群--判断置换的奇偶性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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