近世代數--有限交換群--存在元素的階是群階的素因子

• • 設$G$為有限交換群，$|G|=n=pm,p$為素數，$?a\in G,$使得$|a|=p$

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

• 先從特殊的有限交換群–循環群開始：循環群$G=<a>,|G|=n，$對于$?m\mid n,?H\le G,$使得$|H|=m$

證明：$m\mid n\to n=mt$，由此構造子群
$$\begin{gathered} b=a^t,?a\in G, \\ {b}^m=(a^t{)}^m=a^{tm}=a^n=e \end{gathered}$$
則$H=<b>,|H|=m$

設$G$為有限交換群，$|G|=n=pm,p$為素數，$?a\in G,$使得$|a|=p$

證明：數學歸納法
（1） 當$m=1$時，$|G|=n=p$，由素數階群是循環群得$G$是循環群，那么就可以用$G=<a>$表示。
$$\begin{gathered} |G|=|<a>|=p \\ \to a^p=e,|a|=p \end{gathered}$$

（2） 假設在小于$m$時結論成立；

（3） 證明$m$時結論成立：
構造子群$H=<a>,?a\in G\&a=e;\to |H|\mid |G|=pm\to |H|\mid p，or|H|\mid m，or(|H|\mid m,|H|\mid p)$

我本來想分類成$|H|\mid p$和$|H|?p$，但是在$s=|H|?p$時無法推出$(|H|,p)=1,$因為有可能$|H|=kp>p$；
所以改成$p\mid |H|$和$p?|H|,p?|H|\to |H|=p,|H|?p\to (|H|,p)=1$

• （i） $p\mid |H|$，
  由前一個小定理：循環群$G=<a>,|G|=n，$對于$?m\mid n,?H\le G,$使得$|H|=m$ 得到：

  • 對于$H=<a>$這個循環群，$p\mid |H|$，那么$?H^{\prime }\le H,|H^{\prime }|=p$
  • 根據循環群的子群也是循環群知：$H^{\prime }$是循環群，$H^{\prime }=<b>,b\in H^{\prime }?H?G$
  • 那么$|H^{\prime }|=p\to |<b>|=p\to b^p=e,|b|=p,b\in G$

• （ii）$p?|H|$

  • 構造商群(滿足第（2）條)：$\bar{G}=G/H$，那么$|\bar{G}|=\frac{|G|}{|H|}=\frac{pm}{|H|}=p?\frac{m}{|H|}$
    令$m^{\prime }=\frac{m}{|H|}$，因為$p?|H|\to |H|?p,|H|\mid mp\to |H|\mid m$，則$m^{\prime }$為正整數。

  • $$\begin{gathered} |H|\mid m \\ \to 1<|H|\le m \\ \to \frac{m}{|H|}=m^{\prime },1\le m^{\prime }<m \\ \to |\bar{G}|=p{m}^{\prime }，m^{\prime }<m， \end{gathered}$$符合第 （2） 條$\to ?b\in G,bH\in \bar{G},$使得$|bH|=p,$即$$\begin{gathered} (bH{)}^p=e_{\bar{G}}=e_{\{bH:b\in G\}}=H \\ \to (bH{)}^p=H \end{gathered}$$，且$H\le G$為有限交換群$\to b^p\in H$

  • 假設$|H|=s,$即$$\begin{gathered} |H|=|<a>|=s \\ \to a^s=e_H=e_G=e,b^p\in H \\ \to (b^p{)}^s=e \\ \to (b^s{)}^p=e \end{gathered}$$

  • 現在已經找到階可能為$p$的元素，要證其階確實為$p$，還需證$b^s=e$和$?d<p,$不滿足$(b^s{)}^d=e$

    • $b^s=e$：
      反證：假設$b^s=e$，
      $$\begin{gathered} p?|H| \\ \to p?|H|=s \\ \to s=p \\ \to s?p \\ \to (s,p)=1 \\ \to ?k,l\in Z,sk+pl=1 \\ \to b=b^{sk+pl}=(b^s{)}^k?(b^p{)}^l=e^k?(b^p{)}^l=(b^p{)}^l\in H \end{gathered}$$
      $b=H$，因為$b\in H\to bH=H\to p=|bH|=|H|=s$，與$p=s$矛盾。

    • $?d<p,$不滿足$(b^s{)}^d=e$：
      反證：假設$?d<p,$滿足$(b^s{)}^d=e$
      有$d\mid p,$因為
      $$\begin{gathered} d?p \\ \to (d,p)=1 \\ \to ?x,y\in Z,dx+py=1 \\ \to b^s=(b^s{)}^{dx+py}=((b^s{)}^d{)}^x?((b^s{)}^p{)}^y=e^x?e^y=e \end{gathered}$$與$b^s=e$矛盾
      $$\begin{gathered} d\mid p \\ \to d=p,or,d=1 \\ \to (b^s{)}^p=e,or,(b^s{)}^1=e, \end{gathered}$$又$$\begin{gathered} b^s=e \\ \to (b^s{)}^p=e \end{gathered}$$
      即我們假設$?d<p$，使得$(b^s{)}^d=e$推出的還是$(b^s{)}^p=e$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。