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近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子
發(fā)布時(shí)間:2025/3/21
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生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子
小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.
近世代數(shù)--有限交換群--存在子群的階是群階的因子
- 設(shè)GGG為有限交換群,∣G∣=n,?m∣n,?H≤G,|G|=n,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,∣G∣=n,?m∣n,?H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m
博主是初學(xué)近世代數(shù)(群環(huán)域),本意是想整理一些較難理解的定理、算法,加深記憶也方便日后查找;如果有錯(cuò),歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列:近世代數(shù),方便檢索。
設(shè)GGG為有限交換群,∣G∣=n,?m∣n,?H≤G,|G|=n,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,∣G∣=n,?m∣n,?H≤G,使得∣H∣=m|H|=m∣H∣=m
證明:數(shù)學(xué)歸納法
(1) 當(dāng)m=1m=1m=1時(shí),H={e}≤G,∣H∣=∣{e}∣=1H=\{e\}\le G,|H|=|\{e\}|=1H={e}≤G,∣H∣=∣{e}∣=1
(2) 假設(shè)在小于mmm時(shí)結(jié)論成立;
(3)
- 由設(shè)GGG為有限交換群,∣G∣=n=pm,p|G|=n=pm,p∣G∣=n=pm,p為素?cái)?shù),?a∈G,{\exists}a\in G,?a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p成立得:?a∈G,{\exists}a\in G,?a∈G,使得∣a∣=p|a|=p∣a∣=p。選擇這樣的a,a,a,得到商群Gˉ=G/<a>,∣Gˉ∣=G<a>=np\bar{G}={G}/{<a>},|\bar{G}|=\frac{G}{<a>}=\frac{n}{p}Gˉ=G/<a>,∣Gˉ∣=<a>G?=pn?;
- 由第(2)條得:∣Gˉ∣|\bar{G}|∣Gˉ∣為有限交換群,∣Gˉ∣=np,?mp∣np|\bar{G}|=\frac{n}{p},\forall \frac{m}{p}\mid \frac{n}{p}∣Gˉ∣=pn?,?pm?∣pn?,?Hˉ≤Gˉ,{\exists}{\bar{H}}\le \bar{G},?Hˉ≤Gˉ,使得∣Hˉ∣=mp|\bar{H}|=\frac{m}{p}∣Hˉ∣=pm?
- 記HHH為Hˉ\bar{H}Hˉ在GGG到Gˉ\bar{G}Gˉ自然滿同態(tài)下的原象,H≤GH\le GH≤G。f:H→Hˉf:H\rightarrow \bar{H}f:H→Hˉ是滿同態(tài),Ker(f)=<a>Ker(f)=<a>Ker(f)=<a>。
- Hˉ=H/<a>→∣H∣=∣<a>∣?[H:<a>]→∣H∣=∣<a>∣?∣Hˉ∣=p?mp=m\bar{H}=H/<a>\rightarrow |H|=|<a>|·[H:<a>]\rightarrow |H|=|<a>|·|\bar{H}|=p·\frac{m}{p}=mHˉ=H/<a>→∣H∣=∣<a>∣?[H:<a>]→∣H∣=∣<a>∣?∣Hˉ∣=p?pm?=m
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--有限交换群--存在子群的阶是群阶的因子的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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