近世代數(shù)--有限交換群--存在子群的階是群階的因子

• • 設(shè)$G$為有限交換群，$|G|=n,?m\mid n,?H\le G,$使得$|H|=m$

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設(shè)$G$為有限交換群，$|G|=n,?m\mid n,?H\le G,$使得$|H|=m$

證明：數(shù)學(xué)歸納法
（1） 當(dāng)$m=1$時(shí)，$H=\{e\}\le G，|H|=|\{e\}|=1$

（2） 假設(shè)在小于$m$時(shí)結(jié)論成立；

（3）

• 由設(shè)$G$為有限交換群，$|G|=n=pm,p$為素?cái)?shù)，$?a\in G,$使得$|a|=p$成立得：$?a\in G,$使得$|a|=p$。選擇這樣的$a,$得到商群$\bar{G}=G/<a>，|\bar{G}|=\frac{G}{<a>}=\frac{n}{p}$；
• 由第（2）條得：$|\bar{G}|$為有限交換群，$|\bar{G}|=\frac{n}{p},?\frac{m}{p}\mid \frac{n}{p}$，$?\bar{H}\le \bar{G},$使得$|\bar{H}|=\frac{m}{p}$
• 記$H$為$\bar{H}$在$G$到$\bar{G}$自然滿同態(tài)下的原象，$H\le G$。$f:H\to \bar{H}$是滿同態(tài)，$Ker(f)=<a>$。
• $\bar{H}=H/<a>\to |H|=|<a>|?[H:<a>]\to |H|=|<a>|?|\bar{H}|=p?\frac{m}{p}=m$

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總結(jié)

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